Quand une fonction f admet des primitives et que la représentation graphique de f est donnée par l'énoncé, on peut en déduire le sens de variation d'une primitive F de f.
Soit f la fonction définie et continue sur \left[ -2;2 \right] dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.
Soit F une primitive de f sur \left[ -2;2 \right]. Déterminer les variations de F.
Déterminer graphiquement le signe de la fonction
On détermine le signe de f grâce à sa représentation graphique.
La fonction f est positive lorsque C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, et négative lorsque C_f est en dessous de l'axe des abscisses.
On peut alors donner le signe de f\left(x\right) :
Énoncer le cours
On précise que si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et que sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I. De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.
- Si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et si sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I.
- De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.
En conclure le sens de variation de la primitive
Comme f est la dérivée de la fonction F, on peut conclure que F est croissante sur les intervalles où f est positive et décroissante sur les intervalles où f est négative.
Or f est la dérivée de F sur \left[ -2;2 \right]. On en déduit les variations de F sur \left[ -2;2 \right] :
