Sommaire
ILe calcul numériqueALes règles des signesBLe calcul fractionnaireCLes puissancesDLes puissances de 10ELes priorités opératoiresFL'arithmétiqueGLa proportionnalitéIILe calcul littéralALe développementBLa factorisationCUne identité remarquableLe calcul numérique
Les règles des signes
L'addition de deux nombres de même signe donne un nombre du même signe.
Autrement dit :
- l'addition de deux nombres positifs donne un nombre positif ;
- l'addition de deux nombres négatifs donne un nombre négatif.
(+3)+(+5{,}2)=(+8{,}2)
(-3)+(-5{,}2)=(-8{,}2)
Soustraire un nombre, c'est additionner son opposé.
Autrement dit, si a et b sont des nombres, alors :
a-b=a+(-b)
(+9)-(+5{,}2)=(+9)+(-5{,}2)=(+3{,}8)
(+9)-(-5{,}2)=(+9)+(+5{,}2)=(+14{,}2)
Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
Autrement dit :
- le produit de deux nombres positifs est un nombre positif ;
- le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.
(+5)\times (+4{,}8)=(+24)
(-5)\times (-4{,}8)=(+24)
La propriété précédente est également valable pour le quotient.
(+4{,}8)\div (+5)=(+0{,}96)
(-4{,}8)\div (-5)=(+0{,}96)
Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif.
(+4{,}8)\times (-5)=(-24)
(-4{,}8)\times (+5)=(-24)
La propriété précédente est également valable pour le quotient.
(+4{,}8)\div (-5)=(-0{,}96)
(-4{,}8)\div (+5)=(-0{,}96)
Le calcul fractionnaire
Soient a, b et c des nombres tels que c\neq 0. Alors :
\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}
\dfrac{5{,}4}{3}+\dfrac{4{,}8}{3}=\dfrac{5{,}4+4{,}8}{3}=\dfrac{10{,}2}{3}
Soient a, b et c des nombres tels que b\neq 0 et c\neq 0. Alors :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times c}{b\times c}
\dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times 5}{3\times 5}=\dfrac{10}{15}
Soient a, b et c des nombres tels que b\neq 0 et c\neq 0. Alors :
\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div c}{b\div c}
\dfrac{10}{15}=\dfrac{10\div 5}{15\div 5}=\dfrac{2}{3}
Soient a, b, c et d des nombres tels que c\neq 0 et d\neq 0. Alors :
\dfrac{a}{c}\times \dfrac{b}{d}=\dfrac{a\times b}{c\times d}
\dfrac{2}{3}\times \dfrac{7}{5}=\dfrac{2\times 7}{3\times 5}=\dfrac{14}{15}
Soient a, b, c et d des nombres tels que b\neq 0, c\neq 0 et d\neq 0. Alors :
\dfrac{a}{c}\div \dfrac{b}{d}=\dfrac{a}{c}\times \dfrac{d}{b}
\dfrac{2}{3}\div \dfrac{7}{5}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{5}{7}=\dfrac{2\times 5}{3\times 7}=\dfrac{10}{21}
Les puissances
Les puissances entières naturelles d'un nombre
Soient un nombre a et un entier naturel n non nul. Alors :
a^n=\underbrace{a\times a\times \dots\times a}_{n\text{ fois}}
2{,}4^3=2{,}4\times 2{,}4\times 2{,}4=13{,}824
Les puissances entières négatives d'un nombre
Soient un nombre non nul a et un entier naturel n non nul. Alors :
a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}
3^{-4}=\dfrac{1}{3^4}=\dfrac{1}{3\times 3\times 3\times 3}=\dfrac{1}{81}
La puissance nulle d'un nombre non nul
Soit un nombre non nul a. Alors :
a^0=1
(-2)^0=1
Soient a et b deux nombres non nuls et m et n des entiers. Alors :
a^n\times a^m=a^{n+m}
\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}
\left(a^n\right)^m=a^{n\times m}
a^n\times b^n=(ab)^n
\dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n
5^3\times 5^7=5^{3+7}=5^{10}
\dfrac{5^3}{5^7}=5^{3-7}=5^{-4}
\left(5^3\right)^2=5^{3\times 2}=5^6
5^3\times 4^3=(5\times 4)^3=20^3
\dfrac{5^3}{4^3}=\left(\dfrac{5}{4}\right)^3
Un nombre est un carré parfait lorsqu'il est le carré d'un entier. Les carrés parfaits de 1 à 144 sont :
\text{1 ; 4 ; 9 ; 16 ; 25 ; 36 ; 49 ; 64 ; 81 ; 100 ; 121 ; 144}
Autrement dit :
1^2=1\\ 2^2=4\\ 3^2=9\\ 4^2=16\\ 5^2=25\\ 6^2=36\\ 7^2=49\\ 8^2=64\\ 9^2=81\\ 10^2=100\\ 11^2=121\\12^2=144
Les puissances de 10
Les puissances de 10 possèdent les mêmes propriétés de calcul que les puissances (section précédente).
10^3\times 10^7=10^{3+7}=10^{10}
\dfrac{10^3}{10^7}=10^{3-7}=10^{-4}
\left(10^3\right)^2=10^{3\times 2}=10^6
Soit n un entier naturel. Alors :
10^n=1\underbrace{0\dots 0}_{n\text{ fois}}
10^{-n}=\underbrace{0{,}0\dots 0}_{n\text{ fois}}1
10^6=1\underbrace{000000}_{6\text{ zéros}}
10^{-6}=\underbrace{0{,}00000}_{6\text{ zéros}}1
L'écriture scientifique d'un nombre décimal
Tout nombre décimal s'écrit de façon unique sous la forme a\times 10^n où 1\leq a<10 et n est un entier.
825 348=8{,}253\,48\times 10^{5}\\0{,}000125348=1{,}25348\times 10^{-4}
Les priorités opératoires
Lorsqu'un calcul ne contient que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de gauche à droite.
\underbrace{9-7}+2+10{,}2-5{,}4
=\underbrace{2+2}+10{,}2-5{,}4
=\underbrace{4+10{,}2}-5{,}4
=\underbrace{14{,}2-5{,}4}
=8{,}8
Lorsqu'un calcul ne contient que des multiplications et des divisions, on effectue les calculs de gauche à droite.
\underbrace{10{,}2\div 5}\times 3\div 2\times 4
=\underbrace{2{,}04\times 3}\div 2\times 4
=\underbrace{6{,}12\div 2}\times 4
=\underbrace{3{,}06\times 4}
=12{,}24
Lorsqu'un calcul mélange plusieurs opérations, on effectue les opérations dans l'ordre suivant :
- les parenthèses ;
- les puissances ;
- les multiplications et les divisions ;
- les additions et les soustractions.
3^4-\left(3+\underbrace{2\times 4}\right)^2+5\times 4-8\div 2
=3^4-\underbrace{\left(3+8\right)}^2+5\times 4-8\div 2
=\underbrace{3^4}-11^2+5\times 4-8\div 2
=81-\underbrace{11^2}+5\times 4-8\div 2
=81-121+\underbrace{5\times 4}-8\div 2
=81-121+20-\underbrace{8\div 2}
=\underbrace{81-121}+20-4
=\underbrace{-40+20}-4
=\underbrace{-20-4}
=-24
L'arithmétique
Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair ;
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ;
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9 ;
- par 10, si son chiffre des unités est 0.
- 124 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 4, qui est pair ;
- 123 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres est 1+2+3=6, qui est divisible par 3 ;
- 125 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5 ;
- 126 est divisible par 9 car la somme de ses chiffres est 1+2+6=9, qui est divisible par 9 ;
- 130 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.
Une fraction irréductible
Une fraction \dfrac{a}{b} est dite irréductible s'il n'existe pas de diviseur commun au numérateur et au dénominateur positif autre que 1.
La fraction \dfrac{24}{35} est irréductible.
En effet :
- les diviseurs positifs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 ;
- les diviseurs positifs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Le seul diviseur positif commun à 24 et 35 est 1.
La fraction \dfrac{24}{35} est bien irréductible.
Un nombre premier
Un entier naturel n supérieur ou égal à 2 est dit premier s'il n'admet que deux diviseurs positifs, 1 et lui-même.
Le nombre 13 est un nombre premier, car ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 13.
Les nombres premiers inférieurs à 30 sont :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29
Tout nombre entier naturel non premier peut s'écrire comme produit de nombres premiers.
À l'ordre des termes près, cette écriture est unique.
420=2\times 2\times 3\times 5\times 7
Grâce à la décomposition en facteurs premiers des entiers, on peut simplifier les fractions.
\dfrac{420}{63}=\dfrac{2\times 2\times 3\times 5\times 7}{3\times 3\times 7}=\dfrac{420\div (3\times 7)}{63\div (3\times 7)}=\dfrac{20}{3}
La proportionnalité
Deux grandeurs proportionnelles
On dit que deux grandeurs sont proportionnelles lorsque pour passer des valeurs d'une des grandeurs aux valeurs de l'autre, il suffit de multiplier par un nombre fixe différent de 0.
Le périmètre d'un cercle est proportionnel à son rayon.
Il suffit de multiplier le rayon par 2\pi pour obtenir le périmètre :
| Rayon du cercle (en cm) | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Périmètre du cercle (en cm) | 1\times 2\pi =2\pi | 2 \times 2 \pi= 4\pi | 3 \times 2 \pi= 6\pi | 4 \times 2 \pi= 8\pi |
Soient deux grandeurs A et B et certaines de leurs valeurs :
| Grandeur A | a | b |
| Grandeur B | c | d |
Si les grandeurs A et B sont proportionnelles, alors :
a\times d=c\times b
Un véhicule roule à vitesse constante. La distance parcourue est proportionnelle à la durée du parcours.
| Durée (en h) | 2 | 3,5 |
| Distance (en km) | 230 | ? |
Alors :
2\times ?=230\times 3{,}5
On en déduit :
?=\dfrac{230\times 3{,}5}{2}
?=402{,}5
Le calcul littéral
Le développement
Développer une expression numérique ou littérale
Développer une expression écrite sous la forme d'un produit, c'est la transformer en une expression égale écrite sous la forme d'une somme (ou d'une différence).
3\times (10+12)=3\times 10+3\times 12
3\times (10-12)=3\times 10-3\times 12
Soient des nombres a, b, c et d. Alors :
a\times (b+c)=a\times b+a\times c
a\times (b-c)=a\times b-a\times c
(a+b)\times (c+d)=a\times c+a\times d+b\times c+b\times d
Quel que soit le nombre x, on a :
x(2x+1)=x\times 2x+x\times 1=2x^2+x
3x(1-2x)=3x\times 1-3x\times 2x=3x-6x^2
(3x+2)(1-2x)=3x\times 1-3x\times 2x+2\times 1-2\times 2x=3x-6x^2+2-4x=-6x^2-x+2
La factorisation
Factoriser une expression numérique ou littérale
Factoriser une expression écrite sous la forme d'une somme (ou d'une différence), c'est la transformer en une expression égale écrite sous la forme d'un produit.
3\times 12-3\times 10=3\times (12-10)=3\times 2=6
Soient des nombres a, b et c. Alors :
a\times b+a\times c=a\times (b+c)
a\times b-a\times c=a\times (b-c)
Quel que soit le nombre x, on a :
3x+5x^2=x\times 3+x\times 5x=x\times (3+5x)
3x-5x^2=x\times 3-x\times 5x=x\times (3-5x)
Une identité remarquable
Soient des nombres a, et b. Alors :
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(12+10)(12-10)=12^2-10^2=144-100=44
(2x+3)(2x-3)=(2x)^2-3^2=4x^2-9
La transformation précédente est un développement.
Soient des nombres a, et b. Alors :
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
Quel que soit le nombre x, on a :
4x^2-81=(2x)^2-9^2=(2x+9)(2x-9)
La transformation précédente est une factorisation.