Sommaire
ILes probabilités conditionnellesAConditionnementBIndépendanceCLa formule des probabilités totalesIILes lois de probabilité discrètesALes variables aléatoiresBLa loi de BernoulliCLa loi binomialeLes probabilités conditionnelles
Dans toute cette partie, on considère un univers probabilisé \Omega.
Conditionnement
Probabilité conditionnelle
Soient A et B deux événements, avec A de probabilité non nulle. On définit la probabilité conditionnelle de B sachant que l'événement A est réalisé par :
p_{A}\left(B\right) =\dfrac{p\left(A \cap B\right)}{p\left(A\right)}
Si p\left(A\cap B\right)=0{,}25 et p\left(A\right)=0{,}75 alors :
p_A\left(B\right)=\dfrac{0{,}25}{0{,}75}=\dfrac13
Indépendance
Evénements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si :
p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)
Considérons deux événements A et B tels que p\left(A\right)=0{,}7 et p\left(B\right)=0{,}6. On sait de plus que p\left(A\cap B\right)=0{,}42. On a :
p\left(A\right)\times p\left(B\right)=0{,}7\times 0{,}6=0{,}42=p\left(A\cap B\right)
Les événements A et B sont donc indépendants.
Conditions d'indépendance de deux événements
Soient A et B deux événements indépendants de probabilités non nulles. On a :
- p\left(A \cap B\right) = p\left(A\right) \times p\left(B\right)
- p_{A}\left(B\right) = p\left(B\right)
- p_{B}\left(A\right) = p\left(A\right)
La formule des probabilités totales
Partition
Soit un ensemble \Omega. Les événements de probabilités non nulles \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} forment un système complet ou une partition de \Omega si et seulement si les trois conditions suivantes sont vérifiées :
- E_{i} \subset \Omega pour tout entier i compris entre 1 et k
- Les événements E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k} sont deux à deux incompatibles
- Leur réunion est égale à l'ensemble \Omega
Formule des probabilités totales
Soit \{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\} un système complet d'événements de l'univers \Omega. Pour tout événement A :
p\left(A\right) = p\left(A \cap E_{1}\right) + p\left(A \cap E_{2}\right) + p\left(A \cap E_{3}\right) +... + p\left(A \cap E_{k}\right)
En appliquant ensuite la formule des probabilités conditionnelles, on obtient l'expression suivante :
p\left(A\right) = p_{E_1}\left(A \right)p\left(E_1 \right) + p_{E_2}\left(A \right)p\left(E_2 \right)+...+p_{E_k}\left(A \right)p\left(E_k \right)
La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré.
Dans cet exemple, les événements B et \overline{B} forment une partition de l'univers. La formule des probabilités totales permet de calculer p\left(A\right) :
p\left(A\right) = p\left(A \cap B\right) + p\left(A \cap \overline{B}\right)
Soit :
p\left(A\right) = p\left(B\right) \times p_{B}\left(A\right) + p\left(\overline{B}\right) \times p_{\overline{B}}\left(A\right)
La formule des probabilités totales revient ainsi à additionner les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement A :
p\left(A\right) = 0{,}8 \times 0{,}05 + 0{,}2 \times 0{,}5
p\left(A\right) = 0{,}14
Les lois de probabilité discrètes
Les variables aléatoires
Variable aléatoire
Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement élémentaire de l'univers d'une expérience aléatoire.
Loi de probabilité
Soit X une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}. La loi de probabilité de X associe à chaque réel x_{i} la probabilité p\left(\left\{ X = x_{i} \right\}\right), que l'on peut noter en abrégé p\left(X = x_{i}\right).
On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.
x_{i} | x_{1} | x_{2} | ... | x_{n} |
---|---|---|---|---|
p\left(X = x_{i}\right) | p\left(X = x_{1}\right) | p\left(X = x_{2}\right) | ... | p\left(X = x_{n}\right) |
Le tableau suivant présente la loi de probabilité d'une variable aléatoire X :
x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
---|---|---|---|---|
p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
Si X est une variable aléatoire telle que X\left(\Omega\right) = \left\{ x_{1}, x_{2},..., x_{n} \right\}, alors :
p\left(X = x_{1}\right) + p\left(X = x_{2}\right) +... + p\left(X = x_{n}\right) = 1
En reprenant la loi de probabilité suivante :
x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
---|---|---|---|---|
p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
On vérifie que l'on a bien :
0{,}25+0{,}10+0{,}50+0{,}15=1
Espérance
L'espérance d'une variable aléatoire X prenant pour valeurs x_0, x_1,..., x_n est le réel :
E\left(X\right) =\sum _{i=0}^{n}x_{i} p\left(X = x_{i}\right)
Soit :
E\left(X\right) = x_{0} p\left(X = x_{0}\right) + x_{1} p\left(X = x_{1}\right) +... + x_{n} p\left(X = x_{n}\right)
En reprenant la loi de probabilité suivante :
x_i | -2 | 1 | 3 | 5 |
---|---|---|---|---|
p\left(X=x_i\right) | 0,25 | 0,10 | 0,50 | 0,15 |
On peut calculer l'espérance :
E\left(X\right)=-2\times0{,}25+1\times0{,}10+3\times0{,}50+5\times0{,}15=1{,}85
La loi de Bernoulli
Epreuve de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :
- Succès, obtenu avec une probabilité p (p étant un réel compris entre 0 et 1)
- Echec, obtenu avec la probabilité 1 - p
On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue une épreuve de Bernoulli dont le succès est : "la paire de lunettes choisie est défectueuse", de probabilité p=0{,}05.
Loi de Bernoulli
Soit un réel p compris entre 0 et 1. Une variable aléatoire X suit la loi de Bernoulli de paramètre p si et seulement si :
- X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
- p\left(X = 1\right) = p et p\left(X = 0\right) = 1 - p
On choisit au hasard une paire de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses. X est la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si la paire de lunettes choisie est défectueuse, et qui prend la valeur 0 sinon.
On a bien :
- X\left(\Omega\right) = \{0 ; 1\}
- p\left(X = 1\right) = 0{,}05 et p\left(X = 0\right) = 0{,}95
Donc X suit la loi de Bernoulli de paramètre 0,05.
Espérance d'une loi de Bernoulli
Si X suit la loi de Bernoulli de paramètre p, on a :
E\left(X\right) = p
Soit une variable aléatoire X suivant la loi de Bernoulli de paramètre 0,05. On a :
E\left(X\right)=0{,}05
La loi binomiale
Loi binomiale
On appelle schéma de Bernoulli la répétition un certain nombre de fois d'une même épreuve de Bernoulli de façon indépendante. Notons n le nombre de répétitions et p le paramètre de l'épreuve de Bernoulli. La loi de probabilité de la variable aléatoire X qui à chaque réalisation du schéma de Bernoulli associe le nombre de succès est appelée loi binomiale de paramètres n et p, et notée B\left(n;p\right).
On choisit successivement, de manière aléatoire et indépendante, 10 paires de lunettes dans la production d'une usine. On considère que 5% des lunettes sont défectueuses.
Cela constitue la répétition de n=10 épreuves de Bernoulli dont le succès est : "les lunettes choisies sont défectueuses", de probabilité p=0{,}05.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de lunettes défectueuses suit donc la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}05.
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
- X\left(\Omega\right)=\left\{ 0;1;2;...;n \right\}
- Pour tout entier k appartenant à X\left(\Omega\right), p\left(X=k\right)=\dbinom{n}{k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}
Le coefficient \dbinom{n}{k}, égal au nombre de possibilités de placer les k succès parmi les n répétitions, est appelé coefficient binomial.
En reprenant l'exemple précédent, on peut calculer :
P\left(X=2\right)=\binom{10}{2}\times 0{,}05^2\times0{,}95^8\approx0{,}0746
Espérance d'une loi binomiale
Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :
E\left(X\right) = np
Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0{,}05, alors :
E\left(X\right)=10\times0{,}05=0{,}5