Les côtés d'un triangle rectangle
Les trois côtés d'un triangle sont appelés « côté adjacent à l'angle », « côté opposé à l'angle » et « hypoténuse ».
Côté adjacent
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le côté \left[ AC \right] est appelé « côté adjacent » à l'angle \widehat{ACB}.
Côté opposé
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le côté \left[ AB \right] est appelé « côté opposé » à l'angle \widehat{ACB}.
Hypoténuse
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le côté \left[ BC \right] est appelé « hypoténuse » du triangle ABC.
Le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle
Le cosinus, le sinus et la tangente sont des rapports de longueurs qui ne dépendent que de la mesure de l'angle aigu concerné. Pour les trouver, on calcule des rapports de longueurs entre les côtés du triangle. Les longueurs de côtés utilisées diffèrent selon ce que l'on cherche.
Le cosinus
Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs de l'hypoténuse et du côté adjacent à l'angle.
Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté adjacent à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
Le cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu \alpha est égal à :
\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté adjacent}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
- \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
Les caractéristiques du cosinus
Le cosinus d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le rapport \dfrac{AC}{BC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.
Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté adjacent à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
On reprend l'exemple précédent.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
- \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
On a bien :
0\leq \cos\left(\widehat{ABC}\right)\leq 1
et
0\leq \cos\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1
Comme le cosinus d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.
Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
Le sinus
Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs de l'hypoténuse et du côté opposé à l'angle.
Définition du sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur de l'hypoténuse.
Sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu \alpha est égal à :
\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
- \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
Les caractéristiques du sinus
Le sinus d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le rapport \dfrac{AB}{BC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.
Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté opposé à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur de l'hypoténuse}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
On reprend l'exemple précédent.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
- \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
On a bien :
0\leq \sin\left(\widehat{ABC}\right)\leq 1
et
0\leq \sin\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1
Comme le sinus d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.
Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
La tangente
La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle est un rapport de longueurs qui ne dépend que de la mesure de l'angle. On le calcule à partir des longueurs du côté adjacent et du côté opposé à l'angle.
Définition de la tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle est égale au rapport de la longueur du côté opposé à cet angle sur la longueur du côté adjacent à ce même angle.
Tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu \alpha est égale à :
\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{Longueur du côté opposé}}{\text{Longueur du côté adjacent}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
- \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
Les caractéristiques de la tangente
La tangente d'un angle dépend uniquement de la mesure de cet angle. Il est compris entre 0 et 1 et n'a pas d'unité.
On considère un triangle ABC rectangle en A.
Le rapport \dfrac{AB}{AC} ne dépend que de la mesure l'angle \widehat{ACB}.
Autrement dit, le rapport \dfrac{\text{Longueur du côté opposé à }\widehat{ACB}}{\text{Longueur du côté adjacent à }\widehat{ACB}} ne dépend que de la mesure de l'angle \widehat{ACB}.
La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.
On reprend l'exemple précédent.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
- \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
Sur cet exemple, on a :
1\leq \tan\left(\widehat{ABC}\right)
et
0\leq \tan\left(\widehat{ACB}\right)\leq 1
Comme la tangente d'un angle aigu est le quotient de deux longueurs exprimées dans la même unité, le résultat n'a pas d'unité.
La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
Les calculs de longueurs
Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer des longueurs de côtés à partir de la mesure d'un des angles aigus et de la longueur d'un des côtés. On choisit la formule la plus utile en fonction de ce que l'on connaît et du côté dont on cherche la longueur.
Les calculs de longueurs à partir du cosinus
Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle, ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté triangle à l'aide de la formule du cosinus.
La formule définissant le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :
- la mesure d'un des angles aigus ;
- la longueur d'un des côtés.
Le triangle MNP est rectangle en M.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\cos\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MN}{NP}
\cos\left(30°\right)=\dfrac{MN}{10}
On en déduit :
MN = 10\times \cos\left(30°\right)
MN \approx 8{,}66 \text{ cm}
Attention à bien régler sa calculatrice en degrés.
Les calculs de longueurs à partir du sinus
Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle, ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté triangle à l'aide de la formule du sinus.
La formule définissant le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :
- la mesure d'un des angles aigus ;
- la longueur d'un des côtés.
Le triangle MNP est rectangle en M.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\sin\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MP}{NP}
\sin\left(30°\right)=\dfrac{MP}{10}
On en déduit :
MP = 10\times \sin\left(30°\right)
MP =5 \text{ cm}
Les calculs de longueurs à partir de la tangente
Quand on connaît la mesure des angles aigus d'un triangle rectangle ainsi que la longueur d'un des côtés, on peut calculer la longueur d'un autre côté du triangle à l'aide de la formule de la tangente.
La formule définissant la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer des longueurs de côtés à partir de :
- la mesure d'un des angles aigus ;
- la longueur d'un des côtés.
Le triangle MNP est rectangle en M.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle MNP rectangle en M, on a :
\tan\left(\widehat{MNP}\right)=\dfrac{MP}{MN}
\tan\left(30°\right)=\dfrac{8}{MN}
On en déduit :
MN = \dfrac{8}{\tan\left(30°\right)}
MN \approx 13{,}86 \text{ cm}
Les calculs de mesures d'angles
Les formules définissant le cosinus, le sinus et la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permettent de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs de deux des côtés du triangle. On choisit la formule la plus utile en fonction de ce que l'on connaît et de l'angle aigu dont on cherche la mesure.
Les calculs de mesures d'angles à partir du cosinus
Quand cherche la mesure d'un des angles aigus du triangle et que l'on connaît la longueur de son côté adjacent et de l'hypoténuse, on peut utiliser la formule du cosinus pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.
La formule définissant le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté adjacent à l'angle et de l'hypoténuse.
Le triangle TRI est rectangle en T.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\cos\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TR}{RI}
\cos\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{7}{10}
On utilise alors la touche \cos^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}\approx 45{,}57°
Attention à bien régler sa calculatrice en degrés.
Les calculs de mesures d'angles à partir du sinus
Quand on cherche la mesure d'un des angles aigus d'un triangle et que l'on connaît la longueur de son côté opposé et de l'hypoténuse, on peut utiliser la formule du sinus pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.
La formule définissant le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté opposé à l'angle et de l'hypoténuse.
Le triangle TRI est rectangle en T.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\sin\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TI}{RI}
\sin\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{5}{10}
On utilise alors la touche \sin^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}=30°
Les calculs de mesures d'angles à partir de la tangente
Quand on cherche la mesure d'un des angles aigus d'un triangle et que l'on connaît les longueurs de son côté opposé et de son côté adjacent, on peut utiliser la formule de la tangente pour calculer la mesure de l'autre angle aigu du triangle.
La formule définissant la tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle permet de calculer la mesure d'un des angles aigus à partir des longueurs du côté adjacent de l'angle et du côté opposé à l'angle.
Le triangle TRI est rectangle en T.
On a les informations ci-dessous :
Dans le triangle TRI rectangle en T, on a :
\tan\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{TI}{TR}
\tan\left(\widehat{TRI}\right)=\dfrac{5}{8}
On utilise alors la touche \tan^{-1} de la calculatrice pour obtenir :
\widehat{TRI}\approx 32{,}01°