Sommaire
1Donner la formule liant la durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t 2Donner l'expression du coefficient de Lorentz 3Relever la valeur de la durée propre \Delta \tau_p 4Relever la valeur de la vitesse v du système dans le référentiel de mesure 5Exprimer les paramètres dans les unités demandées 6Effectuer l'application numérique 7Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifsLa durée propre et la durée mesurée sont liées par une relation. On calcule donc la durée mesurée entre deux événements à partir de la durée propre dans le référentiel immobile.
Un astronaute s'éloigne de la Terre avec une vitesse constante v=0{,}9\times c. La durée de voyage pour l'astronaute est de 4,0 ans. Déterminer la durée du voyage pour un observateur resté sur Terre.
Donner la formule liant la durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t
On donne la formule, liant la durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t :
\Delta t = \gamma \times \Delta \tau_p
Avec \gamma le coefficient de Lorentz.
La durée propre \Delta \tau_p et la durée mesurée \Delta t sont liées par la formule suivante :
\Delta t = \gamma \times \Delta \tau_p
Donner l'expression du coefficient de Lorentz
On donne l'expression du coefficient de Lorentz \gamma :
\gamma =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
Où v est la vitesse du système dans le référentiel de mesure et c est la vitesse de la lumière (qui vaut 3{,}00.10^{8} m.s-1).
On peut alors modifier l'expression de la durée mesurée.
On a :
\gamma =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}
Où v est la vitesse de l'astronaute et c est la vitesse de la lumière.
Ainsi :
\Delta t =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} \times \Delta \tau_p
Relever la valeur de la durée propre \Delta \tau_p
On relève la valeur de la durée propre \Delta \tau_p.
La durée propre est donnée dans l'énoncé :
\Delta \tau_p=4{,}0 ans
Relever la valeur de la vitesse v du système dans le référentiel de mesure
On relève la valeur de la vitesse v du système dans le référentiel de mesure.
La vitesse est donnée dans l'énoncé :
v=0{,}9\times c
Avec c la célérité de la lumière.
Exprimer les paramètres dans les unités demandées
Les paramètres sont la durée propre et la vitesse du système. On vérifie que :
- La durée propre soit exprimée en secondes
- La vitesse du système soit exprimée en mètres par seconde
Aucune unité n'est imposée pour les durées, et la durée donnée dans l'énoncé est en années. Le résultat sera donc obtenu en années.
Effectuer l'application numérique
On effectue l'application numérique afin de calculer la durée mesurée.
On effectue l'application numérique :
\Delta t =\sqrt{ \dfrac{1}{1 - \dfrac{\left(0{,}9c\right)^2}{c^2}}} \times4{,}0
\Delta t =9{,}1766 ans
Exprimer le résultat avec le bon nombre de chiffres significatifs
On écrit le résultat avec le même nombre de chiffres significatifs que le paramètre possédant le plus petit nombre de chiffres significatifs.
Le résultat doit être écrit avec deux chiffres significatifs :
\Delta t =9{,}2 ans