Eau et énergie Exercice type bac

La source d'énergie utilisée dans la plupart des téléphones portables est une batterie d'accumulateurs qu'il est nécessaire de recharger régulièrement. Cette opération peut prendre du temps.
La photographie ci-dessous présente une batterie utilisée dans un téléphone portable. Elle a une hauteur de 62 mm, une largeur de 50 mm et une épaisseur de 5,0 mm.
Cette batterie assure environ deux jours d'autonomie à un téléphone portable récent.

Le tableau ci-dessous présente quelques énergies volumiques de batteries usuelles :

Batterie	Cd - Ni	Li - ion
Énergie volumique (Wh / cm³)	0,08 - 0,15	0,25 - 0,60

Document 1

La pile DMFC

Institut d'électronique, de microélectronique et de nanotechnologie (CNRS / Université Lille-I / Université de Valenciennes / Isen Recherche)

Depuis le milieu des années 2000, des chercheurs développent une nouvelle source d'énergie qui pourrait être utilisée dans les téléphones portables : la micropile DMFC (Direct Méthanol Fuel Cell). Cette pile à combustible, de dimensions très réduites, utilise directement du méthanol liquide, de l'eau et le dioxygène de l'air pour produire son énergie.
La photographie ci-dessous présente une puce de silicium comportant des micro-canaux à travers lesquels circule le méthanol dans la micropile à combustible. Le réservoir de méthanol n'est pas photographié ici.

La pile à combustible DMFC utilise du méthanol liquide pour produire de l'énergie. L'énergie volumique du méthanol, plus importante que celle des batteries usuelles utilisées dans les téléphones portables, en fait un combustible intéressant. Dans ce type de pile, le méthanol est stocké dans un réservoir qui peut être rechargé rapidement.

Les équations des réactions aux électrodes s'écrivent :

À l'anode :

\ce{CH3OH_{(l)} + H2O_{(l)} - \gt CO2_{(g)} + 6 H+_{(aq)} + 6 e- }

À la cathode :

\ce{O2_{(g)} + 2 H+_{(aq)} + 2 e- - \gt H2O_{(l)} }

La tension de fonctionnement de la pile DMFC est de 0,50 V.
Compte tenu de toutes les contraintes techniques liées au fonctionnement de cette pile, on considère que son rendement est de l'ordre de 40%.

Document 2

Données

Masses molaires atomiques :

M\left(C\right) = 12{,}0 g.mol^-1 ; M\left(H\right) = 1{,}0 g.mol^-1 ; M\left(O\right) = 16{,}0 g.mol^-1

Constante d'Avogadro : N_A = 6{,}02 \times 10^{23} mol^-1
Charge électrique élémentaire : e = 1{,}60 \times 10^{-19} C
Charge transportée par une mole d'électrons : 96{,}5 \times 10^3 C
L'énergie E fournie par une batterie ou une pile est égale au produit de la charge électrique Q qu'elle peut fournir par la tension électrique U sous laquelle cette charge est débitée : E = Q \times U. Avec E en joules, Q en coulombs et U en volts.
L'énergie se mesure habituellement en wattheure (Wh) mais l'unité officielle (S.I.) est le joule : 1 Wh = 3600 J
Extrait de l'étiquette d'une bouteille de méthanol :

On souhaite vérifier que l'énergie volumique de la batterie est en accord avec l'intervalle indiqué dans les documents.

D'après la photographie, quelle est la quantité d'énergie que peut stocker la batterie de téléphone présentée ?

D'après la photographie, la quantité d'énergie que peut stocker la batterie de téléphone présentée est de 7,98 Wh.

D'après la photographie, la quantité d'énergie que peut stocker la batterie de téléphone présentée est de 3,8 Wh.

D'après la photographie, la quantité d'énergie que peut stocker la batterie de téléphone présentée est de 3,8 V.

D'après la photographie, la quantité d'énergie que peut stocker la batterie de téléphone présentée est de 7,98 V.

Quel est le calcul correct du volume de la batterie ?

V=h \times e \times L = 6{,}2\times 0{,}50 \times 5{,}0 = 16 cm³

V=h \times e \times L = 6{,}2\times 0{,}25 \times 5{,}0 = 8 cm³

V=h \times e \times L = 6{,}2\times 0{,}10 \times 5{,}0 = 3 cm³

V=h \times e \times L = 6{,}2\times 1{,}0 \times 5{,}0 = 32 cm³

Quel est alors le calcul correct de l'énergie volumique de cette batterie ?

E_{Vol}=\dfrac{E}{h \times e \times L}=\dfrac{7{,}98}{16}=0{,}51 Wh.cm⁻³

E_{Vol}=\dfrac{E}{h \times e \times L}=\dfrac{7{,}98}{12}=0{,}67 Wh.cm⁻³

E_{Vol}=\dfrac{E}{h \times e \times L}=\dfrac{3{,}8}{16}=0{,}31 Wh.cm⁻³

E_{Vol}=\dfrac{E}{h \times e \times L}=\dfrac{7{,}98}{18}=0{,}44 Wh.cm⁻³

Est-ce que cette valeur est en accord avec ce qui est dit dans les documents ?

Oui, car elle est comprise entre 0,25 et 0,60 Wh.cm⁻³.

Non, car elle est comprise entre 0,25 et 0,60 Wh.cm⁻³.

Oui, car elle est supérieure à 0,60 Wh.cm⁻³.

Non, car elle est supérieure à 0,60 Wh.cm⁻³.

On souhaite maintenant calculer la taille du réservoir de méthanol que devrait posséder une micropile DMFC pour que l'autonomie de celle-ci soit identique à celle d'une batterie Li-ion.

Dans ces conditions, quelle doit être l'énergie que la pile DMFC doit pouvoir stocker, en Wattheures (Wh) ?

Elle doit avoir la même énergie que celle de la batterie du téléphone, soit E=7{,}98 Wh.

Elle doit avoir une énergie supérieure à celle de la batterie du téléphone, soit E \gt 7{,}98 Wh.

Elle doit avoir une énergie inférieure à celle de la batterie du téléphone, soit E \lt 3 Wh.

Elle doit avoir la même énergie que celle de la batterie du téléphone, soit E=3 Wh.

Quelle est la conversion correcte de cette énergie en joules (J) ?

E=7{,}98 \times 3\ 600=2{,}87\times 10^4 J

E=7{,}98 \times 1\ 000=7{,}98\times 10^3 J

E=\dfrac{7{,}98}{1\ 000}=7{,}98\times 10^{-3 } J

E=\dfrac{7{,}98}{3\ 600}=2{,}21\times 10^{-3 } J

D'après les documents, quelle tension la micropile DMFC délivre-t-elle ?

U=0{,}5 V

U=7{,}98 V

U=4{,}0 V

U=2{,}5 V

Quel est alors le calcul correct de la charge électrique que doit fournir la micropile ?

Q=\dfrac{E}{U}=\dfrac{7{,}98 \times 3\ 600}{0{,}50}=5{,}7 \times 10^4 C

Q=\dfrac{U}{E}=\dfrac{0{,}50}{7{,}98 \times 3\ 600}=1{,}7 \times 10^{-4} C

Q=\dfrac{U}{E}=\dfrac{0{,}50}{7{,}98 \times 1\ 000}=6{,}3 \times 10^{-5} C

Q=\dfrac{E}{U}=\dfrac{7{,}98 \times 1\ 000}{0{,}50}=1{,}6 \times 10^4 C

Quel est le bon calcul de la quantité de matière d'électrons que la pile doit pouvoir échanger ?

n_{e-}=\dfrac{Q}{F}=\dfrac{5{,}7 \times 10^4}{96{,}5\times 10^3}=5{,}9 \times 10^{-1} mol

n_{e-}=\dfrac{Q}{F}=\dfrac{5{,}7 \times 10^4}{96{,}5}=5{,}9 \times 10^2 mol

n_{e-}=\dfrac{F}{Q}=\dfrac{96{,}5\times 10^3}{5{,}7 \times 10^4}=1{,}7 mol

n_{e-}=\dfrac{F}{Q}=\dfrac{96{,}5}{5{,}7 \times 10^4}=1{,}7\times 10^{-3} mol d'électron

Quelle est l'écriture correcte de l'oxydation du méthanol en dioxyde de carbone ?

\ce{CH3OH_{(l)} + H2O_{(l)} - \gt CO2_{(g)} + 6 H+_{(aq)} + 6 e- }

\ce{CH3OH_{(l)} + H2O_{(l)} - \gt CO2_{(g)} + 3 H+_{(aq)} + 3 e- }

\ce{CH3OH_{(l)} + 2 H2O_{(l)} - \gt CO2_{(g)} + 12 H+_{(aq)} + 6 e- }

\ce{2 CH3OH_{(l)} + H2O_{(l)} - \gt 2 CO2_{(g)} + 7 H+_{(aq)} + 4 e- }

Par déduction, quelle est la quantité de matière de méthanol devant être consommé ?

n_{meth}=\dfrac{ n_{e-}}{6} = \dfrac{5{,}9 \times 10^{-1}}{6} = 9{,}8 \times 10^{-2} mol

n_{meth}=\dfrac{ n_{e-}}{3} = \dfrac{5{,}9 \times 10^{-1}}{3} = 0{,}20 mol

n_{meth}= 3 \times n_{e-} = 3 \times 5{,}9 \times 10^{-1} = 1{,}8 mol

n_{meth}= 6 \times n_{e-} = 3 \times 5{,}9 \times 10^{-1} = 3{,}6 mol

Quelle est l'expression du volume de méthanol en fonction de sa quantité de matière et de sa masse volumique ?

V =\dfrac{ n_{meth} \times M_{meth}}{ \rho}

V =\dfrac{ n_{meth}}{ \rho \times M_{meth}}

V =\dfrac{\rho}{ n_{meth} \times M_{meth}}

V =n_{meth} \times M_{meth}\times\rho

Par déduction, quel est le calcul correct du volume de méthanol (de masse molaire 32,0 g.mol^-1) permettant d'échanger la quantité de matière d'électrons trouvée précédemment, en cm³ ?

V =\dfrac{9{,}8 \times 10^{-2} \times 32{,}0}{0{,}792}=4{,}0 cm³

V =\dfrac{9{,}8 \times 10^{-2} }{0{,}792\times 32{,}0}=3{,}9 \times 10^{-4} cm³

V =\dfrac{ 0{,}792\times 32{,}0}{9{,}8 \times 10^{-2}}=2{,}6 \times 10^{4} cm³

V =9{,}8 \times 10^{-2} \times 32{,}0 \times 0{,}792 =0{,}25 cm³

Le rendement de la pile étant de 40%, quel est le volume de méthanol qui doit finalement être stocké dans la pile DMFC ?

V_{meth}=V \times \dfrac{100}{40}=4{,}0 \times \dfrac{100}{40}=10 cm³

V_{meth}=V \times \dfrac{100}{60}=4{,}0 \times \dfrac{100}{60}=6{,}7 cm³

V_{meth}=V \times 40=4{,}0 \times 40=160 cm³

V_{meth}=V \times \dfrac{40}{100}=4{,}0 \times \dfrac{40}{100}=1{,}6 cm³

En quoi l'utilisation de la micropile DMFC présente un intérêt ?

La tension délivrée par cette batterie est très élevée.

La recharge de la batterie ne pose pas de danger.

L'utilisation de cette batterie ne présente pas de danger.

À énergie stockée égale, le volume de la micropile DMFC est nettement inférieur à celui d'une batterie Li-ion.