Il est possible de résoudre des équations avec des congruences en appliquant les propriétés des opérations sur les congruences.
Déterminer les entiers x tels que :
3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]
Simplifier l'équation
D'après le cours, on sait que :
ax+b \ce{#} c\left[ d \right] \Leftrightarrow ax \ce{#} c-b\left[ d \right]
Si nécessaire, on applique cette propriété afin de simplifier l'équation.
3x+4 \ce{#} 2 \left[ 4\right]\Leftrightarrow 3x \ce{#} -2 \left[ 4\right]
Or :
-2 \left[ 4\right] \ce{#} 2 \left[ 4\right]
Donc l'équation devient :
3x \ce{#} 2 \left[ 4\right]
Raisonner avec un tableau
On dresse la table des congruences de x par b puis on en déduit celle de ax par b.
Or x est nécessairement congru à 0 ; 1 ; 2 ou 3.
On en déduit que :
- Si x\ce{#} 0 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 0 \left[ 4 \right]
- Si x\ce{#} 1 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 3 \left[ 4 \right]
- Si x\ce{#} 2 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 6\ce{#} 2 \left[ 4 \right]
- Si x\ce{#} 3 \left[ 4 \right] alors 3x\ce{#} 9\ce{#} 1 \left[ 4 \right]
Pour plus de lisibilité, on récapitule les résultats sous forme d'une table des congruences.
| x\ce{#} | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| 3x\ce{#} | 0 | 3 | 2 | 1 |
On en déduit que :
3x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right] \Leftrightarrow x\ce \ce{#} 2 \left[ 4 \right]
Conclure
On conclut sur les solutions de l'équation.
On en conclut que les entiers x solutions de l'équation sont de la forme 2+4k avec k \in \mathbb{Z}.