La loi binomiale et les fluctuations d'échantillonnages Formulaire

Soit un réel p compris entre 0 et 1 et n un entier naturel non nul.
Si une variable aléatoire suit la loi binomiale de paramètres n et p, notée B\left(n ; p\right), alors :

• X\left(\Omega\right) = [\![0 ; n]\!]
• \forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P\left(X = k\right) =\binom{n}{k}p^{k} \left(1 - p\right)^{n-k}

Soient un ensemble E de cardinal n (\in \mathbb{N}^{*}) et k un entier naturel inférieur ou égal à n.
Le nombre de parties de E possédant k éléments, est égal au coefficient binomial noté :

\binom{n}{k}

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

E\left(X\right) = np

Si X suit la loi binomiale de paramètres n et p, on a :

V\left(X\right) = np\left(1 - p\right)

\sigma\left(X\right)=\sqrt {V\left(X\right)}

L'intervalle de fluctuation au coefficient 95 % de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est \left[ \dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n} \right], où a est le plus petit entier tel que P\left(X\leq a\right)\gt0{,}025, et b le plus petit entier tel que P\left(X\leq b\right) \geq0{,}975.