Les séries statistiques
Les valeurs et les effectifs
Population
La population est l'ensemble des individus que l'on étudie.
L'ensemble des garçons d'une classe est une population.
L'ensemble des produits fabriqués par une usine est une population.
Caractère
Le caractère représente une des caractéristiques de la population que l'on étudie. Le caractère peut prendre plusieurs valeurs (chiffrées ou non).
Dans l'ensemble des garçons de la classe, on peut s'intéresser au sport choisi. Plusieurs valeurs sont possibles : foot, basket, tennis, volley.
Série statistique
Une série statistique est la suite des valeurs que prend un caractère au sein d'une population.
Voici le sport choisi par les douze garçons d'une classe, qui avaient le choix entre le foot, le basket, le tennis et le volley :
tennis - tennis - basket - foot - basket - foot - volley - foot - foot - tennis - basket - volley
Il s'agit de la série statistique décrivant la valeur du caractère "le sport choisi" au sein de la population "les garçons de la classe".
Effectif
L'effectif d'une valeur d'une série statistique est le nombre d'apparitions de cette valeur dans la série.
On considère de nouveau la série statistique :
tennis - tennis - basket - foot - basket - foot - volley - foot - foot - tennis - basket - volley
Dans cette série, la valeur "foot" a pour effectif 4 car elle apparaît 4 fois.
On présente souvent les résultats d'une étude statistique sous forme de tableau, dont la première ligne recense les différentes valeurs de la série, et la seconde ligne affiche l'effectif correspondant à chaque valeur.
La série statistique précédente peut être présentée par le tableau suivant :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
Effectif total
La somme des effectifs d'une série statistique est égale à l'effectif total.
On considère de nouveau la série statistique suivante qui donne le sport choisi par chacun des garçons d'une classe :
tennis - tennis - basket - foot - basket - foot - volley - foot - foot - tennis - basket - volley
L'effectif total, qui correspond au nombre de garçons de la classe, est égal à :
4 + 3 + 3 + 2 = 12
Effectif cumulé croissant
On appelle effectif cumulé croissant d'une valeur d'une série statistique quantitative le nombre de valeurs inférieures ou égales à la valeur considérée.
Déterminer les effectifs cumulés croissants d'une série revient à cumuler au fur et à mesure les effectifs des valeurs.
Dans le tableau statistique suivant donnant la répartition des notes dans une classe, on peut calculer les effectifs cumulés croissants :
| Notes | 8 | 11 | 13 | 16 |
|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 8 | 13 | 14 | 3 |
| Effectifs cumulés croissants | 8 | 21 | 35 | 38 |
Valeurs données en classes
On peut regrouper les valeurs de certaines séries statistiques en tranches. Ces tranches sont appelées des classes, et on peut alors calculer l'effectif de chaque classe.
On peut par exemple regrouper les employés d'une entreprise par classe de taille en cm.
| Taille (cm) | \left[ 150;155 \right[ | \left[ 155;160 \right[ | \left[ 160;165 \right[ | \left[ 165;170 \right[ | \left[ 170;175 \right[ | \left[ 175;180 \right] |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 10 | 11 | 18 | 13 | 8 |
Les définitions de la partie précédente restent valables en remplaçant "valeur" par "classe".
Les fréquences
Fréquence
La fréquence d'une valeur d'une série statistique est égale à :
f = \dfrac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}}
On considère de nouveau la série statistique donnant le sport choisi par les douze garçons d'une classe :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
La fréquence des garçons faisant du basket est \dfrac{3}{12}.
Une fréquence peut être donnée en fraction réduite ou en valeur décimale (seulement si la valeur est exacte ou si on demande une valeur arrondie).
\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}=0{,}25
Une fréquence est toujours un nombre compris entre 0 et 1.
La somme de toutes les fréquences d'une série est égale à 1.
On ajoute une ligne au tableau de la série statistique précédente pour visualiser la fréquence de chaque sport :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
On a bien :
\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{4+3+3+2}{12} = \dfrac{12}{12} = 1
Les caractéristiques de position
La moyenne
Moyenne
La moyenne d'une série statistique discrète, souvent notée m, se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total.
On sait que dans une classe de 10 personnes, les notes à un contrôle ont été les suivantes :
13 - 4 - 8 - 13 - 18 - 18 - 15 - 10 - 10 - 15
On peut calculer la moyenne m des notes :
m=\dfrac{13+4+8+13+18+18+15+10+10+15}{10}
m=\dfrac{124}{10}
m=12{,}4
On peut uniquement calculer la moyenne des séries statistiques dont les valeurs sont des nombres (et pas des sports, des couleurs, etc.), c'est-à-dire des séries quantitatives.
Pour les séries quantitatives continues (valeurs rangées en classes), on détermine une valeur approchée de la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre.
La médiane
Médiane
On appelle médiane d'une série rangée par ordre croissant toute valeur de la série qui la partage en deux séries de même effectif total.
On considère une série discrète dont les valeurs des n individus sont rangées par ordre croissant.
- Si n est impair, on prend comme médiane la \dfrac{n+1}{2} ème valeur de la série ordonnée.
- Si n est pair, on prend comme médiane le nombre central situé entre la \dfrac{n}{2} ème valeur et la \dfrac{n}{2}+1 ème valeur.
On considère la série d'effectif 7 suivante : 3 ; 5 ; 6 ; 11 ; 14 ; 21 ; 27.
7 est impair, et \dfrac{7+1}{2}=4
Une médiane est donc la 4e valeur de la série, soit 11.
On considère la série d'effectif 6 suivante : 12 ; 13 ; 14 ; 19 ; 31 ; 41.
6 est pair et \dfrac{6}{2}=3
Une médiane est égale à la moyenne des 3e et 4e éléments de la série, soit \dfrac{14+19}{2}=16{,}5.
Une médiane de la série est donc 16,5.
Un tableau des effectifs cumulés croissants peut aider à déterminer une médiane.
Les différentes représentations d'une série statistique
Le diagramme en bâtons ou en barres
Diagramme en bâtons
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons (ou en barres). La hauteur des bâtons (ou des barres) est proportionnelle aux effectifs.
Le diagramme en bâtons suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.
- Un diagramme en barres est un diagramme en bâtons avec des bâtons "larges".
- Ces diagrammes sont adaptés aux séries discrètes quantitatives.
L'histogramme
Histogramme
Pour représenter une série statistique continue (en classes), on peut tracer un histogramme. Il s'agit de rectangles dont la largeur est l'amplitude de la classe correspondante et dont l'aire dépend de l'unité d'aire choisie pour le diagramme.
L'histogramme suivant indique la répartition des tailles des élèves (en cm) dans une classe.
Sur un histogramme, il n'y a pas d'axe des ordonnées, mais une unité d'aire indiquée.
Le diagramme circulaire ou semi-circulaire
Diagramme circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme circulaire. L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 360 :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 360 = 120^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{2}{12} \times 360 = 60^\circ |
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \dfrac{360}{\text{effectif total}}.
Pour les garçons faisant du foot :
4\times\dfrac{360}{12}=120°
Diagramme semi-circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme semi-circulaire (demi-cercle). L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme semi-circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 180 :
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 180 = 60^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{2}{12} \times 180 = 30^\circ |
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \dfrac{180}{\text{effectif total}}.
Pour les garçons faisant du foot :
4\times\dfrac{180}{12}=60°