Les caractéristiques de position
La moyenne
Moyenne
La moyenne d'une série statistique discrète, souvent notée m, se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l'effectif total.
On donne la série statistique suivante :
12 ; 5 ; 16 ; 32 ; 15 ; 2 ; 19 ; 10 ; 4 ; 5
On remarque que l'effectif total est de 10. On peut calculer la moyenne :
m=\dfrac{12+5+16+32+15+2+19+10+4+5}{10}
m=\dfrac{120}{10}=12
On peut uniquement calculer la moyenne des séries statistiques dont les valeurs sont des nombres (et pas des sports, des couleurs, etc.), c'est-à-dire des séries quantitatives.
Pour les séries quantitatives continues (valeurs rangées en classes), on détermine une valeur approchée de la moyenne en remplaçant chaque classe par son centre.
On donne la série statistique suivante :
| Âge | \left[ 12;18 \right[ | \left[ 18;25 \right[ | \left[ 25;40 \right[ | \left[ 40;60 \right] |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 3 | 2 | 1 |
On détermine le centre des classes et on ajoute cette ligne dans le tableau :
| Âge | \left[ 12;18 \right[ | \left[ 18;25 \right[ | \left[ 25;40 \right[ | \left[ 40;60 \right] |
|---|---|---|---|---|
| Centre de classe | 15 | 21,5 | 32,5 | 50 |
| Effectif | 2 | 3 | 2 | 1 |
On peut ensuite calculer une valeur approchée de la moyenne, en remarquant que l'effectif total est 8 :
m\approx\dfrac{15+15+21{,}5+21{,}5+21{,}5+32{,}5+32{,}5+50}{8}
m\approx\dfrac{209{,}5}{8}\approx26
Moyenne pondérée
La moyenne pondérée d'une série de données est égale au quotient de la somme des produits de chaque valeur par son effectif et de l'effectif total. Autrement dit :
\text{Moyenne pondérée}=\dfrac{\text{Somme des produits des valeurs par leurs effectifs}}{\text{Effectif total}}
On présente la série de l'exemple précédent dans un tableau d'effectifs :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 10,5 | 11 | 13 | 14 | 14,5 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 | 1 | 2 | 1 |
L'effectif total est égal à 32. On peut ainsi calculer la moyenne pondérée arrondie au dixième :
m = \dfrac{5 \times 1 + 8 \times 3 + 9 \times 5 + 10 \times 6 + 10{,}5 \times 2 + 11 \times 5 + 13 \times 6 + 14 \times 1 + 14{,}5 \times 2 + 16 \times 1}{32} \approx 10{,}8
Dans cette dernière formule, on peut remplacer « effectifs » par « fréquences » et « effectif total » par « fréquence totale ».
Les médianes
Médiane
On appelle médiane d'une série rangée par ordre croissant toute valeur de la série qui la partage en deux séries de même effectif.
On considère une série discrète dont les valeurs des n individus sont rangées par ordre croissant.
- Si n est impair, on prend comme médiane la \dfrac{n+1}{2} valeur de la série ordonnée.
- Si n est pair, on prend comme médiane le nombre central situé entre la \dfrac{n}{2} valeur et la \dfrac{n}{2}+1 valeur.
On considère la série d'effectif 7 suivante :
3 ; 5 ; 6 ; 11 ; 14 ; 21 ; 27
7 est impair, et \dfrac{7+1}{2}=4.
Une médiane est donc la 4e valeur de la série, soit 11.
On considère la série d'effectif 6 suivante :
12 ; 13 ; 14 ; 19 ; 31 ; 41
6 est pair, et \dfrac{6}{2}=3.
Une médiane est donc égale à la moyenne du 3e élément et du 4e élément de la série, soit \dfrac{14+19}{2}=16{,}5.
Un tableau des effectifs cumulés croissants peut aider à déterminer une médiane.
Une caractéristique de dispersion
Étendue
L'étendue d'une série quantitative est égale à la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.
Le tableau d'effectifs suivant présente les notes obtenues par un groupe d'élèves :
| Note | 5 | 8 | 9 | 10 | 10,5 | 11 | 13 | 14 | 14,5 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 | 5 | 6 | 1 | 2 | 1 |
Les notes vont de 5 à 16. L'étendue de la série est donc égale à :
16-5=11
Dans le cas d'une série continue, on considère que la plus grande valeur de la série est la borne supérieure du dernier intervalle et la plus petite valeur, la borne inférieure du premier intervalle.
Le tableau d'effectifs suivant présente les tailles des élèves d'une classe :
| Taille (en cm) | \left[ 120;130 \right[ | \left[ 130;140 \right[ | \left[ 140;150 \right[ | \left[ 150;160 \right[ | \left[ 160;175 \right] |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d'élèves | 1 | 3 | 5 | 6 | 2 |
Les tailles vont de 120 cm à 175 cm. L'étendue vaut donc :
175-120=55
Les représentations d'une série statistique
Le diagramme en bâtons ou en barres
Diagramme en bâtons ou en barres
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme en bâtons (ou en barres). La hauteur des bâtons (ou des barres) est proportionnelle aux effectifs.
Le diagramme en bâtons suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe.
- Un diagramme en barres est un diagramme en bâtons avec des bâtons « larges ».
- Ces diagrammes sont adaptés aux séries discrètes quantitatives.
L'histogramme
Histogramme
Pour représenter une série statistique continue (en classes), on peut tracer un histogramme. Il s'agit de rectangles dont la largeur est l'amplitude de la classe correspondante et dont l'aire dépend de l'unité d'aire choisie pour le diagramme.
L'histogramme suivant représente la série statistique donnant les tailles en cm des élèves d'une classe :
Sur un histogramme, il n'y a pas d'axe des ordonnées, mais une unité d'aire indiquée.
Le diagramme circulaire ou semi-circulaire
Diagramme circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme circulaire. L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 360.
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 360 = 120^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{3}{12} \times 360 = 90^\circ | \dfrac{2}{12} \times 360 = 60^\circ |
Pour les garçons faisant du foot : 4\times\dfrac{360}{12}=120°.
Diagramme semi-circulaire
Pour représenter une série statistique, on peut tracer un diagramme semi-circulaire (demi-cercle). L'angle des portions est proportionnel aux effectifs.
Le diagramme semi-circulaire suivant représente la série statistique des garçons pratiquant du sport dans la classe. Pour obtenir la mesure de l'angle, on multiplie la fréquence de la valeur par 180.
| Sport choisi | Foot | Basket | Tennis | Volley |
|---|---|---|---|---|
| Nombre de garçons | 4 | 3 | 3 | 2 |
| Fréquence | \dfrac{4}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{3}{12} | \dfrac{2}{12} |
| Angle | \dfrac{4}{12} \times 180 = 60^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{3}{12} \times 180 = 45^\circ | \dfrac{2}{12} \times 180 = 30^\circ |
Pour obtenir la mesure de l'angle, on peut également multiplier l'effectif de la valeur par \dfrac{180}{\text{effectif total}}.
Pour les garçons faisant du foot : 4\times\dfrac{180}{12}=60°.