Les fonctions linéaires
Définition
Fonction linéaire
On appelle fonction linéaire le procédé qui, à tout nombre x, associe le nombre y = ax où a est un nombre fixé donné.
On note cette fonction : x \longmapsto ax.
x\longmapsto 2x est la fonction linéaire qui à tout nombre x associe son double.
x\longmapsto -5x est la fonction linéaire qui multiplie tout nombre x par -5.
On donne souvent un nom à la fonction. Si on note f la fonction linéaire qui, à tout nombre x, associe le nombre y=ax, on note :
f:x\longmapsto ax ou f\left(x\right)=ax
Image et antécédent
Avec les notations précédentes :
- Le nombre y est appelé l'image de x par f.
- Le nombre x est appelé antécédent de y par f.
Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :
f\left(x\right) = 3x
Pour calculer l'image du nombre 2 par f, on remplace x par 2 :
f\left(2\right) = 3 \times 2 = 6
Dans cet exemple, 6 est l'image de 2 par f, et 2 est un antécédent de 6 par f.
Soit f une fonction linéaire de coefficient a, c'est-à-dire f\left(x\right)=ax.
- Tout nombre x admet une image par f et cette image est unique.
- Si a\neq0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
- f\left(x\right) désigne donc l'image de x par f ; c'est un nombre.
- f n'est pas un nombre, mais une fonction.
Caractérisation
Une fonction linéaire est définie par son coefficient a. Il suffit ainsi de connaître la valeur de a pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.
Considérons la fonction linéaire de coefficient a=7.
Si on veut calculer l'image du nombre 6, il suffit de multiplier 6 par a, ce qui donne 6\times7=42. L'image de 6 est 42.
Pour calculer l'antécédent de 14, on divise 14 par a. Ainsi, on obtient : 14\div7=2. L'antécédent de 14 est 2.
Pour une fonction linéaire donnée, toutes les images sont proportionnelles aux antécédents suivant le coefficient a. Par conséquent, il suffit de connaître l'image d'un nombre non nul par une fonction linéaire pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a, et donc l'expression générale de f.
Le tableau suivant représente des antécédents et leurs images par une fonction linéaire. On peut remarquer la situation de proportionnalité entre les images et les antécédents.
Pour obtenir les images, on multiplie les antécédents par 3, ce qui signifie que le coefficient de la fonction linéaire est a=3. Son expression est donc : f\left(x\right)=3x.
L'application aux pourcentages d'évolution
On considère un prix de départ égal à x.
Si le prix augmente de t%, le nouveau prix y est égal à :
y = \left(1 +\dfrac{t}{100}\right) x
Si le prix diminue de t%, le nouveau prix y est égal à :
y = \left(1 -\dfrac{t}{100}\right) x
Ainsi, la relation qui permet de calculer un prix après un pourcentage d'augmentation ou de diminution est une fonction linéaire, dont le coefficient est égal à :
- a = 1 +\dfrac{t}{100} en cas d'augmentation
- a = 1 -\dfrac{t}{100} en cas de diminution
Si l'augmentation du prix est de 16%, le coefficient est :
a=1+\dfrac{16}{100}=1+0{,}16=1{,}16
Si l'ancien prix est x=136 euros, alors le nouveau prix y est :
y=1{,}16x=1{,}16\times136=157{,}76 euros.
Si la diminution du prix est de 18%, le coefficient est :
a=1-\dfrac{18}{100}=1-0{,}18=0{,}82
Si l'ancien prix est x=120 euros, alors le nouveau prix y est :
y=0{,}82x=0{,}82\times120=98{,}4 euros.
La représentation graphique
Représentation graphique
On considère le plan muni d'un repère \left(O;I;J\right). La représentation graphique d'une fonction linéaire x\longmapsto ax est l'ensemble des points de coordonnées \left(x;ax\right) où x décrit l'ensemble de tous les nombres.
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction linéaire x \longmapsto ax est une droite passant par l'origine O. Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite.
Soit la fonction linéaire définie pour tout nombre x par :
f\left(x\right) = 0{,}5x
Sa représentation graphique dans le repère est la droite tracée en bleu ci-dessous :
On peut lire graphiquement les images en ordonnée, sur l'axe \left(Oy\right), et les antécédents en abscisse, sur l'axe \left(Ox\right).
Dans cet exemple, on constate que f\left(8\right) = 4. On peut dire aussi :
- 4 est l'image de 8.
- 8 est l'antécédent de 4.
On retrouve le même résultat par le calcul :
0{,}5 \times 8 = 4
Réciproquement, toute droite non verticale \left( d \right) passant par l'origine du repère est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
En considérant un point A appartenant à \left( d \right) et distinct de l'origine du repère dont les coordonnés dans le plan sont notées \left( x_A,y_A \right), le coefficient directeur a de la droite \left( d \right) se calcule de la manière suivante :
a=\dfrac{y_A}{x_A}
Les fonctions affines
Définition
Fonction affine
On appelle fonction affine le procédé qui, à tout nombre x, associe le nombre y = ax + b, où a et b sont des nombres fixes donnés. On note x \longmapsto ax + b cette fonction.
La fonction f définie par f\left(x\right)=-3x+5 est affine avec a=-3 et b=5.
On distingue deux formes de fonctions affines particulières :
- Si b = 0, la fonction est linéaire (une fonction linéaire est une fonction affine).
- Si a = 0, la fonction est constante (tous les nombres ont même image, égale à b).
La fonction définie par f\left(x\right)=6x+0=6x est une fonction linéaire avec a=6 et b=0.
La fonction définie par f\left(x\right)=9 est une fonction constante avec a=0 et b=9.
Soit f une fonction affine du type f\left(x\right)=ax+b :
- Tout nombre x admet une image par f et cette image est unique.
- Si a\neq0, tout nombre y admet un antécédent par f et cet antécédent est unique.
- f\left(x\right) désigne donc l'image de x par f ; c'est un nombre.
- f n'est pas un nombre, mais une fonction.
Caractérisation
Une fonction affine est définie par son coefficient a et le nombre b. Il suffit ainsi de connaître les valeurs de a et b pour être en mesure de calculer l'image et l'antécédent de tout nombre par la fonction.
Soit la fonction affine définie par :
f\left(x\right)=2x-4.
Ici, on connaît a et b. On peut calculer l'image de 5 en remplaçant x par 5 :
f\left(5\right)=2\times5-4=10-4=6.
L'image de 5 est donc 6.
On peut également déterminer l'antécédent de -1, en résolvant une équation :
2x-4=-1
2x=-1+4
2x=3
x=\dfrac32.
L'antécédent de -1 est \dfrac32.
On peut regrouper plusieurs images et antécédents dans un tableau de valeur.
Un tableau de valeurs de la fonction affine f\left(x\right)=4x-7 est par exemple :
| x | -1 | 5 | 10 | 12 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| f\left(x\right) | -11 | 13 | 33 | 41 | 73 |
Un tableau de valeurs d'une fonction affine n'est en général pas un tableau de proportionnalité.
Pour une fonction affine donnée, l'accroissement des images (c'est-à-dire la différence entre deux images) est proportionnel à l'accroissement des antécédents correspondants suivant le coefficient a. Par conséquent, il suffit de connaître les images y_{1} et y_{2} de deux nombres x_{1} et x_{2} par une fonction affine pour pouvoir déterminer la valeur du coefficient a :
a =\dfrac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}
On peut ensuite en déduire la valeur de b, et donc l'expression générale de la fonction affine.
Si l'image de \textcolor{Red}{x_1=-2} par une fonction affine f est \textcolor{Green}{y_1=-3}, et si celle de \textcolor{Blue}{x_2=1} est \textcolor{Purple}{y_2=3} , alors on peut déterminer le coefficient a.
a=\dfrac{\textcolor{Purple}{y_2}-\textcolor{Green}{y_1}}{\textcolor{Blue}{x_2}-\textcolor{Red}{x_1}}=\dfrac{\textcolor{Purple}{3}-\textcolor{Green}{\left(-3\right)}}{\textcolor{Blue}{1}-\left( \textcolor{Red}{-2} \right)}=\dfrac{3+3}{1+2}=\dfrac{6}{3}=2
L'expression de la fonction affine est donc de la forme : f\left(x\right)=2x+b.
On va alors déterminer b, en utilisant une des deux informations concernant les images. Par exemple, f\left(\textcolor{red}{x_2}\right)=\textcolor{green}{y_2}. On obtient l'équation d'inconnue b suivante :
2\times\textcolor{blue}{1}+b=\textcolor{purple}{3}
b=3-2
b=1.
En conclusion ,l'expression de la fonction affine est :
f\left(x\right)=2x+1
La représentation graphique
Représentation graphique d'une fonction affine
On considère le plan muni d'un repère \left(O;I;J\right). La représentation graphique d'une fonction affine x\longmapsto ax+b est l'ensemble des points de coordonnées \left(x;ax+b\right) où x décrit l'ensemble de tous les nombres.
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine x \longmapsto ax + b est une droite coupant l'axe des ordonnées au point de coordonnées \left(0 ; b\right). Le nombre a est appelé coefficient directeur de la droite (ou pente de la droite), et le nombre b ordonnée à l'origine.
Le nombre a est appelé coefficient directeur (ou pente) uniquement lorsque l'on parle de la droite. Si on parle de la fonction, a est simplement nommé coefficient.
Réciproquement, toute droite \left( d \right) coupant l'axe des ordonnées du repère est la représentation graphique d'une fonction affine.
L'ordonnée à l'origine b est alors l'ordonnée du point de la droite \left( d \right) d'abscisse 0.
Le coefficient directeur a s'obtient à partir des coordonnés de deux points distincts de la droite notés A\left( x_A,y_A \right) et B\left( x_B,y_B \right) :
a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}
Les droites représentant respectivement la fonction affine x \longmapsto ax + b et la fonction linéaire x \longmapsto ax, de même coefficient directeur a, sont parallèles.
La généralisation de la notion de fonction
Principe
Fonction numérique
Toute relation qui associe à un nombre variable x, pris dans un ensemble donné, un unique nombre y, définit une fonction numérique.
L'expression y=3x^2-5x+1 pour un nombre x quelconque est celle d'une fonction numérique, notée f\left(x\right)=3x^2-5x+1 si on appelle cette fonction f.
Vocabulaire
Ensemble de définition
On appelle ensemble de définition de la fonction f l'ensemble D des nombres x pour lesquels f\left(x\right) est définie.
La fonction racine carrée est définie sur l'ensemble des nombres positifs.
Image
Soit f une fonction définie sur un ensemble D et soit x un nombre de D. On appelle image de x par f le nombre y=f\left(x\right) .
Considérons la fonction définie par :
f\left(x\right)=3x-6+\dfrac1x où x\neq0
On peut déterminer l'image de 4 en remplaçant x par 4.
Ainsi l'image de 4, notée f\left(4\right), est :
f\left(4\right)=3\times4-6+\dfrac14=12-6+0{,}25=6{,}25
Si elle existe, l'image de x par f est unique.
Antécédent
Soit f une fonction définie sur un ensemble D. On appelle antécédents de y par f le ou les nombres x qui vérifie(nt) :
f\left(x\right) = y
Déterminons les antécédents de 36 par la fonction f définie par f\left(x\right)=x^2.
Pour cela on résout l'équation, d'inconnue x, suivante :
x^2=36.
On obtient deux solutions qui sont :
x=\sqrt{36}=6 et x=-\sqrt{36}=-6.
Les antécédents de 36 par f sont donc 6 et -6.
Un nombre peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par f.
- Le nombre 0 n'a pas d'antécédent par la fonction f définie par f\left(x\right)=\dfrac1x, où x\neq0. En effet l'équation, \dfrac1x=0 n'a pas de solution.
- Le nombre 0 a trois antécédents par la fonction g définie par g\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(2-x\right)\left(x-6\right). En effet l'équation \left(x+1\right)\left(2-x\right)\left(x-6\right)=0 possède trois solutions qui sont : -1, 2 et 6 (règle du produit nul).
La représentation graphique
Courbe représentative
Soit f une fonction définie sur un ensemble D. La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right) pour x décrivant l'ensemble D.
- L'image de x par f est l'ordonnée du point de C_{f} d'abscisse x.
- Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C_{f} d'ordonnée y.
Sur le graphique ci-dessous, on peut lire l'image du nombre 4,5, qui est 1.
On peut aussi déterminer les antécédents de 3, qui sont -5 et 6.
