Le vocabulaire des probabilités
Les probabilités consistent en l'étude des phénomènes aléatoires. Les résultats de l'expérience sont appelés « éventualités » ou « issues » et l'ensemble des éventualités est appelé « événement ». Si l'on peut associer les issues d'un événement avec une fréquence d'apparition, l'expérience est appelée « épreuve ».
Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est lié au hasard et ne peut donc pas être prédit avec certitude.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.
Éventualité (ou issue)
Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés « éventualités » (ou « issues »).
Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées e_{i}, sont :
- e_{1} : face 1 ;
- e_{2} : face 2 ;
- e_{3} : face 3 ;
- e_{4} : face 4 ;
- e_{5} : face 5 ;
- e_{6} : face 6.
Épreuve
On appelle « épreuve » une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une épreuve.
On sait que la fréquence d'apparition de chaque face est proche de \dfrac{1}{6} si le dé est équilibré et si on le lance un grand nombre de fois.
Événement
Un événement est un ensemble d'éventualités (ou d'issues).
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A :
A : « Obtenir un multiple de 3 ou de 5 »
Les éventualités correspondant à cet événement sont :
- e_{3} : face 3 ;
- e_{5} : face 5 ;
- e_{6} : face 6.
Événement élémentaire
Un événement ne contenant qu'une issue (ou éventualité) est dit élémentaire.
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A :
A : « Obtenir un multiple de 5 »
L'événement A ne contenant qu'une issue, c'est un événement élémentaire.
On peut simuler une expérience aléatoire à l'aide d'un tableur ou d'un logiciel de programmation :
- Avec un tableur, l'instruction « =ALEA.ENTRE.BORNES(...;...) » est utile.
- Avec un logiciel de programmation par bloc, comme Scratch, le bloc « nombre aléatoire entre ... et ... » est utile (on le trouve dans la partie « Opérateurs »).
Voici deux possibilités pour simuler le lancer d'un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
- Avec un tableur, on entre l'instruction « =ALEA.ENTRE.BORNES(1;6) » et on valide. On peut relancer la simulation grâce à la touche F9.
- Avec le logiciel Scratch de programmation par blocs, on entre l'instruction suivante :
Dans les deux cas, on obtient un entier compris entre 1 et 6.
La probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement correspond aux chances d'obtenir tel ou tel résultat à l'événement. Quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés, on est dans une situation d'équiprobabilité. Il existe d'autres types d'événements, tels que les événements certains, impossibles, incompatibles et contraires. La réunion de deux événements correspond à l'événement « Au moins l'un des deux événements est réalisé ».
Définition de la probabilité d'un événement
La probabilité d'un événement est l'évaluation du nombre de chances qu'a cet événement de se produire. Il s'agit d'un nombre compris entre 0 et 1 qui correspond à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
Probabilité d'un événement
Lorsqu'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire de façon indépendante et dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement E se rapproche d'un nombre que l'on appelle « probabilité de cet événement ».
On le note p\left(E\right).
On choisit de simuler le lancer d'un dé cubique équilibré à l'aide du logiciel Scratch.
On répète cette expérience un grand nombre de fois et on calcule la fréquence de réalisation de l'événement « Obtenir un 6 ».
Plus on répète l'expérience un grand nombre de fois, plus la fréquence est proche de \dfrac{1}{6}.
La probabilité de cet événement est donc \dfrac{1}{6}.
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
Elle exprime la « chance » qu'a cet événement de se produire (on dit aussi « d'être réalisé »).
On peut l'exprimer sous forme d'un nombre à virgule, d'une fraction ou d'un pourcentage.
Dans l'exemple précédent, la probabilité de l'événement « Obtenir un 6 » est égale à \dfrac{1}{6}.
Ce nombre n'ayant pas une écriture décimale finie, on préférera laisser la probabilité sous forme fractionnaire.
Si la probabilité de cet événement avait été de \dfrac{1}{10}, on aurait pu écrire 0,1 ou 10 %.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On suppose le dé non équilibré.
Un grand nombre de lancers a permis d'obtenir les résultats suivants :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \dfrac{1}{2} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{6} |
On note A l'événement « Obtenir un nombre pair ».
On a :
p\left(A\right)=p\left(\left\{ \text{obtenir 2} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 4} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 6} \right\}\right)
p\left(A\right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}
Le cas d'équiprobabilité
Lorsque tous les événements élémentaires ont autant de chances de se réaliser, on parle d'« équiprobabilité ».
Situation équiprobable
On appelle « situation équiprobable » une expérience dans laquelle tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisés.
Si on lance un dé équilibré, la probabilité de sortie de chaque face est égale. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée p\left( A \right), est égale à :
\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } A}{\text{Nombre total d'éventualités}}
On lance un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité de l'événement A suivant :
A : « Obtenir un multiple de 3 ou de 5 »
Il existe 3 éventualités réalisant cet événement :
- e_{3} : face 3 ;
- e_{5} : face 5 ;
- e_{6} : face 6.
De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir.
On en conclut finalement que la probabilité de l'événement A est égale à :
p\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
Dans un cas d'équiprobabilité, déterminer la probabilité d'un événement revient simplement à dénombrer (compter) le nombre d'éventualités réalisant l'événement dont on cherche la probabilité.
Cette propriété est également valable dans les cas d'équiprobabilité.
On reprend l'exemple précédent avec un dé équilibré.
On note A l'événement « Obtenir un nombre pair ».
On a :
p\left(A\right)=p\left(\left\{ \text{obtenir 2} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 4} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 6} \right\}\right)
p\left(A\right)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
On obtient le même résultat qu'avec la formule \dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } A}{\text{Nombre total d'éventualités}} qui donne :
p(A)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
La réunion de deux événements
L'événement « Au moins l'un des deux événements A ou B est réalisé » est appelé « réunion des deux événements A et B ».
Réunion de deux événements
On considère une expérience aléatoire contenant un nombre fini d'issues et on considère deux événements A et B liés à cette expérience.
On appelle « réunion des deux événements » A et B l'événement noté A\cup B contenant les issues réalisant au moins l'un des deux événements A ou B.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
On note A l'événement « On obtient un roi » et B l'événement « On obtient un cœur ».
L'événement A\cup B est l'événement qui contient toutes les issues correspondant à l'obtention d'un roi et toutes les issues correspondant à l'obtention d'un cœur.
Il contient notamment l'issue correspondant à l'obtention d'un roi de cœur.
On dit parfois « A ou B » pour parler de l'événement A\cup B.
Mais contrairement au langage courant, cela n'exclut pas la possibilité que les deux événements A et B soient réalisés.
Autrement dit, A\cup B ne signifie pas « Uniquement un des deux événements A ou B est réalisé ».
Les événements certains, impossibles, incompatibles et contraires
Il existe d'autres types d'événements que les événements élémentaires, en fonction des issues possibles : les événements certains, impossibles, incompatibles et contraires. Leurs probabilités sont différentes.
Les événements certains
Un événement certain se réalise toujours et a une probabilité égale à 1.
Événement certain
Un événement certain est un événement qui se réalise toujours.
Sa probabilité est de 1.
Lorsqu'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement « Obtenir un nombre inférieur à 10 » est un événement certain.
Les événements impossibles
Un événement impossible ne peut pas se réaliser et sa probabilité est égale à 0.
Événement impossible
Un événement impossible est un événement qui ne peut pas se réaliser.
Sa probabilité est de 0.
Lorsqu'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement « Obtenir 10 » est un événement impossible.
Les événements incompatibles
Deux événements incompatibles ne peuvent pas se produire simultanément et la probabilité que l'un des deux événements se réalise est p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).
Événements incompatibles
Deux événements sont dits « incompatibles » s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Soient :
- P : « Obtenir un nombre pair »
- T : « Obtenir 3 »
Les événements P et T sont incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. On note :
p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note :
- A l'événement : « On obtient un nombre pair » ;
- B l'événement : « On obtient un nombre impair ».
A et B sont incompatibles, donc p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).
Les événements contraires
Deux événements contraires n'ont aucune éventualité commune et la probabilité que l'un des deux événements se réalise est p\left(A\right)+p\left(\overline{A}\right)=1.
Événement contraire
On appelle « événement contraire » de l'événement A, noté \overline{A}, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.
On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces.
Soit :
M : « Obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à « Obtenir la face 3 ou la face 6 ».
L'événement contraire de M est :
\overline{M} : « Ne pas obtenir un multiple de 3 », ce qui revient à « N'obtenir ni la face 3 ni la face 6 ».
Quel que soit l'événement A :
p\left(A\right)+p\left(\overline{A}\right)=1
On choisit au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.
On note A l'événement « Obtenir un roi ».
On est dans un cas d'équiprobabilité, donc p(A)=\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } A}{\text{Nombre total d'éventualités}}.
p(A)=\dfrac{4}{32}=\dfrac{1}{8}
De même, p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } \overline{A}}{\text{Nombre total d'éventualités}}.
p\left(\overline{A}\right)=\dfrac{28}{32}=\dfrac{7}{8}
On a bien p(A)+p\left(\overline{A}\right)=1 car \dfrac{1}{8}+\dfrac{7}{8}=\dfrac{8}{8}=1.
Autrement dit, quel que soit l'événement A :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On note A l'événement « On obtient un nombre pair ».
On suppose que le dé n'est pas équilibré et que p\left(A\right)=\dfrac{2}{3}.
Alors \overline{A} est l'événement contraire de l'événement A, soit l'événement « Obtenir un nombre impair », et :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
La probabilité d'une expérience à deux épreuves
Dans le cas d'une expérience à deux épreuves, on utilise un tableau à double entrée afin de déterminer les probabilités des événements de l'expérience.
Une expérience peut être constituée de plusieurs épreuves.
Dans le cas d'une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée peut aider à déterminer les probabilités des événements de l'expérience.
On lance deux fois de suite un dé cubique équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on s'intéresse à la somme des deux nombres obtenus sur la face supérieure du dé.
Le tableau suivant donne les sommes possibles :
| Lancer 1/Lancer 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Chacune des 36 possibilités a autant de « chances » d'être obtenue.
On est dans un cas d'équiprobabilité.
La probabilité de l'événement A « Obtenir une somme égale à 10 » est égale à p(A)=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.