Sommaire
IAires et intégralesAIntégrale d'une fonction continue positiveBIntégrale d'une fonction continue négativeCIntégrale d'une fonction continueDLa valeur moyenne d'une fonctionIILes propriétés de l'intégraleALes propriétés algébriquesBOrdre et intégrationIIIPrimitives et intégralesARelation entre primitives et intégralesBPrimitive qui s'annule en aAires et intégrales
Soit un repère orthogonal \left(O ; I ; J\right). On appelle unité d'aire l'aire du rectangle OIAJ, où A est le point de coordonnées \left(1;1\right).
Intégrale d'une fonction continue positive
Intégrale d'une fonction continue positive
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Bornes d'intégration
En utilisant les notations précédentes, les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.
Intégrale d'une fonction continue négative
Intégrale d'une fonction continue négative
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Intégrale d'une fonction continue
Intégrale d'une fonction continue
Soit f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] (a \lt b), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est négative.
On a ici : \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que a\gt b. Alors, on pose :
\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=-\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx
La valeur moyenne d'une fonction
Valeur moyenne d'une fonction
On appelle valeur moyenne de f sur \left[a ; b\right] (a \lt b) le réel :
\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
Considérons la fonction f continue et définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=7x-2. Sa valeur moyenne sur l'intervalle \left[2;5\right] est donnée par le nombre :
\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx.
Les propriétés de l'intégrale
Les propriétés algébriques
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I ; a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.
\int_{a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0
\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0
\int_{b}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx
\int_{a}^{b}kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
\int_{a}^{b}\left(3x^2-3\right)\ \mathrm dx = 3\int_{a}^{b}\left(x^2-1\right) \ \mathrm dx
Relation de Chasles :
\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{c}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\int_{c}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx
Linéarité :
Pour tous réels \alpha et \beta, \int_{a}^{b}\left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx =\alpha \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx +\beta \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx
\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx
Ordre et intégration
Positivité de l'intégrale :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \leq b. Si, pour tout réel x appartenant à \left[a ; b\right], f\left(x\right)\geqslant0, alors :
\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0
La fonction x\longmapsto x^2+1 est positive et continue sur l'intervalle \left[3;5\right]. Donc, par positivité de l'intégrale, (avec 3\lt5 ), on a :
\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soient a et b deux réels de I tels que a \leq b. Si, pour tout réel x appartenant à \left[a ; b\right], f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right), alors :
\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx
Pour tout réel x\in \left[3;5\right], e^x\geq x. Les fonctions x\longmapsto x et x\longmapsto e^x étant continues sur \left[3;5\right], on a donc :
\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx
Primitives et intégrales
Relation entre primitives et intégrales
Intégrale
Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I. Soient a et b deux réels de I. On a :
\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=3x+1. On cherche à calculer I=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx.
On sait qu'une primitive de f sur \mathbb{R} est la fonction F définie pour tout réel x par F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x.
On a donc :
\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)
\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)
\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac{11}{2}
F\left(b\right) - F\left(a\right) se note également \left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}.
Primitive qui s'annule en a
Primitive qui s'annule en a
Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :
F:x\longmapsto \int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt
Cette fonction F est donc dérivable sur I et f est sa fonction dérivée sur I.
Soit f la fonction définie pour tout réel x par f\left(x\right)=2x+1. La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0. Pour tout réel x, on a :
F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt
Soit :
F\left(x\right) =\left[ t^2+t \right]_0^x
F\left(x\right) =\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)
F\left(x\right)=x^2+x