Sommaire
ILes caractéristiques d'une équationIILes équations du premier degré à une inconnueIIILe test d'égalitéIVLa résolution d'une équation à une inconnueADéfinition d'une équation à une inconnueBLes propriétés pour résoudre une équation du premier degré à une inconnueCLes solutions d'une équation du premier degré à une inconnueVL'identitéLes caractéristiques d'une équation
Une équation est une égalité contenant au moins une inconnue, c'est-à-dire une lettre qui représente un nombre dans cette équation. Pour qu'un nombre soit solution de cette équation, il faut que l'égalité soit vraie quand on remplace l'inconnue par ce nombre.
Équation
Une équation est une égalité contenant au moins un nombre inconnu, le plus souvent représenté par une lettre.
L'égalité suivante est une équation d'inconnue x :
14x-9=8+21x
Inconnue
On appelle « inconnue » toute lettre qui représente un nombre inconnu dans une équation.
On dit également « indéterminée » à la place d'inconnue.
L'équation 4a+5b=8a-5 contient deux inconnues : a et b.
Solution d'une équation
Un nombre est solution d'une équation si, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité est vérifiée.
On considère l'équation :
11 - x = 3x + 23
- 2 est-il solution de cette équation ? Non, car \underbrace{11 - 2}_{9} \neq \underbrace{3 \times 2 + 23}_{29}.
- -3 est-il solution de cette équation ? Oui, car \underbrace{11 - \left(-3\right)}_{14} = \underbrace{3 \times \left(-3\right) + 23}_{14}.
Les équations du premier degré à une inconnue
Les équations du premier degré sont les équations qui, simplifiées, peuvent s'écrire sous la forme ax+b=cx+d, avec a\neq0 ou c\neq0.
Équation du premier degré
On appelle « équation du premier degré » à une inconnue, x, toute équation qui peut se ramener (quitte à développer et à réduire) à une équation du type ax+b=cx+d, avec a\neq0 ou c\neq0.
L'équation -5x+7=4x^2-4x(x-2)+6 est une équation du premier degré à une inconnue x.
En effet, en développant le membre de droite de l'équation, on a :
4x^2-4x(x-2)+6=4x^2-4x\times x-4x\times (-2)+6
4x^2-4x(x-2)+6=4x^2-4x^2+8x+6
4x^2-4x(x-2)+6=8x+6
Ainsi l'équation -5x+7=4x^2-4x(x-2)+6 peut s'écrire sous la forme -5x+7=8x+6.
Il s'agit bien d'une équation du type ax+b=cx+d avec a=-5, b=7, c=8 et d=6.
L'équation -5x+7=4x^2-4x(x-2)+6 est donc une équation du premier degré à une inconnue, x.
Le test d'égalité
Un test d'égalité est un test qui permet de savoir si un nombre est solution d'une équation. Pour cela, on remplace l'inconnue dans chaque membre par ce nombre et on les calcule séparément. Si les deux membres sont égaux, alors le nombre testé est une solution de l'équation.
Pour tester si un nombre est solution d'une équation d'inconnue x :
- On calcule le membre de gauche en remplaçant x par cette valeur.
- On calcule le membre de droite en remplaçant x par cette valeur.
- On observe si les deux membres sont égaux ou non et on conclut.
On teste si le nombre 5 est solution de l'équation 3x-1=7-x.
On calcule l'expression du membre de gauche en remplaçant x par 5 :
3\times5-1=15-1=14
On calcule l'expression du membre de droite en remplaçant x par 5 :
7-5=2
14\neq2, donc 5 n'est pas solution de l'équation.
La résolution d'une équation à une inconnue
Pour résoudre une équation, on doit déterminer les solutions de cette équation. Pour ce faire, on peut multiplier ou diviser les membres de cette équation, ou bien leur additionner ou leur soustraire un nombre. Les équations du premier degré à une inconnue peuvent n'avoir aucune solution, avoir une solution ou bien une infinité de solutions.
Définition d'une équation à une inconnue
Résoudre une équation revient à trouver toutes les solutions de cette équation.
Résoudre une équation à une inconnue
Résoudre une équation à une inconnue signifie déterminer toutes les valeurs de l'inconnue qui sont solutions de l'équation.
- L'équation x + 8 = 12 a pour unique solution 4.
- L'équation 0x=12 n'a pas de solution.
Les propriétés pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue
Lorsqu'on résout une équation, l'égalité reste vraie quand on multiplie ou quand on divise par un même nombre non nul les deux côtés membres de l'égalité, et lorsqu'on additionne ou que l'on soustrait un même nombre aux deux membres de l'égalité.
Une égalité reste vraie quand on multiplie par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
On cherche à résoudre l'équation suivante :
(E) : \dfrac{4}{3}x=7
On multiplie des deux côtés par \dfrac{3}{4} :
\dfrac{4}{3}x\times\dfrac{3}{4}=7\times\dfrac{3}{4}
On change l'ordre des produits et on obtient :
\dfrac{4}{3}\times\dfrac{3}{4}\times x=7\times\dfrac{3}{4}
x=\dfrac{21}{4}
On effectue une vérification.
Pour x=\dfrac{21}{4}, \dfrac{4}{3}x=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{21}{4}=\dfrac{4\times21}{3\times4}=\dfrac{21}{3}=7.
On en conclut que l'équation \left(E\right) admet une unique solution, le nombre \dfrac{21}{4}.
Une égalité reste vraie quand on divise par un même nombre non nul les deux membres de l'égalité.
On cherche à résoudre l'équation suivante :
(E) : 4x=12
On divise des deux côtés par 4 :
\dfrac{4x}{4}=\dfrac{12}{4}
x=3
Avant de conclure, on effectue une vérification.
Pour x=3, 4x=4\times3=12.
On en conclut que l'équation (E) admet une unique solution, le nombre 3.
Une égalité reste vraie quand on ajoute un même nombre aux deux membres de l'égalité.
On cherche à résoudre l'équation suivante :
(E) : x-7=-8
On ajoute 7 des deux côtés :
x-7+7=-8+7
x=-1
Avant de conclure, on effectue une vérification.
Pour x=-1, x-7=-1-7=-8.
On en conclut que l'équation (E) admet une unique solution, le nombre -1.
Une égalité reste vraie quand on soustrait un même nombre aux deux membres de l'égalité.
On cherche à résoudre l'équation suivante :
(E) : 2x+4=x-9
On retire x des deux côtés :
2x+4-x=x-9-x
x+4=-9
On retire 4 des deux côtés :
x+4-4=-9-4
x=-13
Avant de conclure, on effectue une vérification :
- Pour x=-13, 2x+4=2\times(-13)+4=-26+4=-22.
- Pour x=-13, x-9=-13-9=-22.
On en conclut que l'équation (E) admet une unique solution, le nombre -13.
Les solutions d'une équation du premier degré à une inconnue
Les équations du premier degré à une inconnue peuvent n'avoir aucune solution, avoir une seule solution ou bien une infinité de solutions.
Si a \neq 0, l'équation ax = b admet une seule solution :
x = \dfrac{b}{a}
L'équation 5x = 20 admet pour unique solution :
x = \dfrac{20}{5} = 4
Les équations du premier degré à une inconnue peuvent n'avoir aucune solution, avoir une seule solution ou bien une infinité de solutions.
L'équation 2x + 3 = 2x + 1 n'admet aucune solution.
En effet, si on cherche à résoudre l'équation, on obtient :
2x+3=2x+1
On retranche 2x aux deux membres de l'égalité :
2x+3\textcolor{Red}{-2x}=2x+1\textcolor{Red}{-2x}
On obtient alors :
3=1
Cette égalité n'étant pas vraie, l'équation n'a pas de solution.
L'équation 2x + 3 = x - 1 admet une unique solution.
En effet, si on cherche à résoudre l'équation, on obtient :
2x+3=x-1
On retranche x aux deux membres de l'égalité :
2x+3\textcolor{Red}{-x}=x-1\textcolor{Red}{-x}
On retranche 3 aux deux membres de l'égalité :
x+3=-1
x+3\textcolor{Red}{-3}=-1\textcolor{Red}{-3}
x=-4
On effectue une vérification :
Pour x=-4, 2x+3=2\times (-4)+3=-8+3=-5.
Pour x=-4, x-1=(-4)-1=-5.
Pour x=-4, on a bien 2x+3=x-1.
On en conclut que l'équation 2x+3=x-1 admet une seule solution : -4.
L'équation 2x + 3 = 2x + 3 a une infinité de solutions : elle est vérifiée pour n'importe quelle valeur de x.
En effet, les deux expressions (membre de gauche et membre de droite) sont les mêmes.
Ainsi, quel que soit le nombre x, on a forcément 2x+3=2x+3.
L'équation 2x+3=2x+3 admet donc une infinité de solutions.
L'identité
Une identité est une équation qui admet tous les nombres comme solution.
Identité
On dit qu'une équation est une « identité » si elle est vraie quelle que soit la valeur de l'inconnue.
Autrement dit, une équation est une identité si l'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble de tous les nombres.
L'équation 5(x+1)=5x+5 est une identité.
En effet, quelle que soit la valeur du nombre x, le développement de l'expression 5(x+1) donne :
5(x+1)=5\times x+5\times 1
5(x+1)=5x+5
Ainsi, quelle que soit la valeur du nombre x, on a 5(x+1)=5x+5.
L'équation 5(x+1)=5x+5 est bien une identité.
Les formules de développement et de factorisation rencontrées précédemment sont des identités.
Quels que soient les nombres a, b et c, on a :
a(b+c)=ab+ac
a(b-c)=ab-ac
Ce sont donc des identités.