Définition
Homothétie
On considère un point O du plan et un nombre k\neq0. On appelle homothétie de centre O et de rapport k la transformation du plan qui, à chaque point M, associe le point M' tel que :
- O, M et M' sont alignés.
- Si k\gt0, M et M' sont du même côté du point O et OM'=k\times OM
- Si k\lt0, M et M' sont de part et d'autre du point O et OM'=-k\times OM
Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5.
Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=-0{,}5.
- Une homothétie de rapport 1 donne des figures images superposées avec les figures initiales.
- Une homothétie de rapport -1 est une symétrie centrale.
Lien avec le parallélisme
Soient A et B deux points du plan. Soient A' et B' leurs images par une homothétie. Alors \left(AB\right) et \left(A'B'\right) sont parallèles.
Le triangle A'B'C' est l'image du triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport k=0{,}5. On a :
- \left(AB\right)//\left(A'B'\right)
- \left(AC\right)//\left(A'C'\right)
- \left(BC\right)//\left(B'C'\right)
Propriétés
- L'homothétie conserve l'alignement et les mesures d'angles.
- Une homothétie transforme un triangle en un triangle semblable au premier.
En reprenant le cas d'homothétie ci-dessus, on a :
- Les angles conservés, en particulier : \widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}.
- Les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
Par une homothétie de rapport k\gt0, les longueurs sont multipliées par k et les aires par k^2.
Le rectangle A'B'C'D' est l'image du rectangle ABCD par l'homothétie de centre O et de rapport k=3.
- AB=2, donc A'B'=3\times AB=6 cm
- Aire_{ABCD}=2 cm2, donc Aire_{A'B'C'D'}=3^2Aire_{ABCD}=9\times2=18 cm2
Si le rapport de l'homothétie est k\lt0, alors les longueurs sont multipliées par \left(-k\right) et les aires par k2.