Si les phénomènes d'évolution étudiés sont continus, on utilise des fonctions mathématiques pour les modéliser lorsque cela est possible. Dans ce cas, l'étude de la fonction est importante et la notion de nombre dérivé est essentiel à cette étude. Ce chapitre a pour but de définir la notion de nombre dérivé et d'en voir des premières applications.
Le nombre dérivé
Le nombre dérivé d'une fonction en un point est une notion extrêmement importante en mathématiques. Elle permet notamment d'effectuer des approximations. Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.
Définition
Le nombre dérivé d'une fonction f n'est autre qu'un taux d'accroissement de la fonction f entre deux valeurs dans une position limite.
Taux d'accroissement
Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et a+h le quotient :
\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}
En posant x=a+h, le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :
\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}
Soit f la fonction carrée.
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 1 et 2 est : \dfrac{f(2)-f(1)}{2-1},
soit \dfrac{2^2-1^2}{2-1}=\dfrac{3}{1}=3.
Le taux d'accroissement d'une fonction f entre deux réels différents a et x correspond au coefficient directeur de la droite passant par les points de coordonnées (a;f(a)) et (x;f(x)).
Nombre dérivée d'une fonction f en a
Soit a un réel de l'intervalle I.
La fonction f est dite dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).
Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée f'\left(a\right) :
\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim\limits_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)
On considère la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right) = x^2 + 1.
Son taux d'accroissement en 1, obtenu avec la deuxième expression, est égal à :
\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1
Or :
\lim\limits_{x \to 1} \left(x+1\right) = 2
On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est f'\left(1\right) = 2.
"Une limite finie \ell quand h tend vers 0" signifie "devient aussi proche que l'on veut d'un réel \ell lorsque h est suffisamment proche de 0".
Interprétation géométrique
Le nombre dérivé étant une limite d'un taux d'accroissement, on peut le visualiser graphiquement comme un coefficient directeur d'une droite position limite de sécantes.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et a un réel de I en lequel la fonction f est dérivable.
Soit h un réel non nul tel que a+h\in I.
Soit T_{a, a+h} la droite passant par les points des coordonnées (a;f(a) et (a+h;f(a+h)).
Le nombre dérivé est le coefficient directeur de la droite ayant la position limite des droites T_{a,a+h} lorsque h tend vers 0.
On reprend l'exemple précédent de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x^2+1.
On a vu que f'(1)=2.
Le coefficient directeur de la droite ayant la position limite des droites T_{1{,}1+h} lorsque h tend vers 0 est donc 2.
Situations et problèmes liés
Le nombre dérivé étant une limite d'un taux d'accroissement, il correspond dans les phénomènes d'évolution à une variation instantannée.
En physique, lorsqu'un mobile animé d'un mouvement rectiligne, on peut modéliser la distance du mobile par rapport à sa position initiale en fonction du temps à l'aide d'une fonction.
On peut alors facilement calculer des vitesses moyennes entre deux instants.
En utilisant la dérivée de la fonction, on obtient une vitesse instantannée du mobile à un instant donné.
Un mobile se déplace sur un axe d. On étudie son mouvement sur l'intervalle de temps I=[0;4] (en secondes).
Son abscisse (unité le mètre) sur l'axe est donnée par x(t)=t^2+4t.
On cherche sa vitesse instantannée à l'instant t=2 s.
Soit h un réel non nul tel que 2+h\in I.
Le taux d'accroissement de l'abscisse entre les instants 2 et 2+h est : \dfrac{x(2+h)-x(2)}{2+h-2},
soit \dfrac{(2+h)^2+4(2+h)-(2^2+4\times 2)}{h},
c'est-à-dire \dfrac{h^2+8h}{h},
qui est égal à h+8 car h\neq 0.
Lorsque h tend vers 0, ce taux d'accroissement tend vers 8.
Ainsi, x est dérivable en 2 et x'(2)=8.
La vitesse instantannée du mobile à l'instant t=2 est de 8 m.s-1.
En économie, le coût marginal est défini comme la variation du coût total induite par la production et la vente d'une unité supplémentaire.
Lorsque la production est importante, la variation du coût total s'apparente à une variation instannée et est modélisée par la dérivée du coût total.
Une entreprise fabrique une boisson conditionnée en bouteille d'un litre.
Le coût total, exprimé en euros est donné par la fonction C(x)=4000x^3-2000x^2+8000x+100 où x représente le volume exprimé en litres, x variant dans l'intervalle [0;5000].
Le coût marginal pour x=2000 correspond donc à la variation du coût total lorsque l'on augmente la production d'une unité, soit : C(2001)-C(2000).
Or C(2001)-C(2000)=\dfrac{C(2001)-C(2000)}{1}=\dfrac{C(2000+h)-C(2000)}{h} avec h=1.
La quantité 1 étant petite par rapport à 2000, on a :
\(\displaystyle\dfrac{C(2001)-C(2000)}{1}\approx \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{C(2000+h)-C(2000)}{h,
soit C(2001)-C(2000)\approx C'(2000),
ou encore C_m(2000)\approx C'(2000) où C_m est le coût marginal.
Tangente à la courbe d'une fonction en un point
Le nombre dérivé correspond au coefficient d'une droite position limite de sécantes à la courbe d'une fonction. Il permet de définir cette droite limite dite tangente.
Construction
Connaissant un point et le coefficient directeur de la droite position limite de sécantes, on peut la construire.
Tangente à la courbe d'une fonction en un point
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et a un réel de I en lequel la fonction f est dérivable.
Soit h un réel non nul tel que a+h\in I.
Soit T_{a, a+h} la droite passant par les points des coordonnées (a;f(a) et (a+h;f(a+h)).
La droite ayant la position limite des droites T_{a,a+h} lorsque h tend vers 0 est appelée la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
On reprend l'exemple de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x^2+1.
On a vu que f'(1)=2.
La tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 2 est la droite ayant la position limite des droites T_{1{,}1+h} lorsque h tend vers 0.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et soit a un réel de l'intervalle I.
Si la fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est la droite
- de coefficient directeur f'(a)
- passant par le point de coordonnées (a;f(a))
On reprend l'exemple de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x^2+1.
On a vu que f'(1)=2.
Or f(1)=2.
La tangente à la courbe de la fonction f au point d'abscisse 1 est donc la droite de coefficient directeur 2 passant par le point de coordonnées (1;2).
Elle admet donc une équation réduite du type y=2x+p.
Comme cette droite passe par le point de coordonnées (1;2), on a :
2=2\times 1+p,
soit p=0.
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 admet donc pour équation : y=2x.
Équation de la tangente
Connaissant un point et le coefficient directeur de la droite position limite de sécantes, on peut donner une équation de la tangente.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de \mathbb{R} et soit a un réel de l'intervalle I.
Si la fonction f est dérivable en a, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a a pour équation :
y=f'(a)(x-a)+f(a)
On reprend l'exemple de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x^2+1.
On a vu que f'(1)=2.
Or f(1)=2.
La tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 admet pour équation :
y=2(x-1)+2,
soit y=2x-2+2,
ou encore y=2x.
On retrouve bien le résultat de l'exemple précédent.
