Que ce soit en économie, en sciences ou dans la vie quotidienne, les modèles mathématiques sont omniprésents. On différencie les phénomènes discrets et les phénomènes continus.
Lorsque les modèles utilisés génèrent des valeurs augmentant ou diminuant de façon proportionnelle à la valeur précédente, on parle de croissance exponentielle.
Suites géométriques à termes strictement positifs
Lors de l'étude de phénomènes discrets, l'outil mathématique des suites est très utile. Si l'évolution du phénomène est proportionnelle à la valeur précédente, on parle de croissance exponentielle.
Définition des suites géométriques
Lors de l'étude d'un phénomène discret à croissance exponentielles, les suites introduites sont dites géométriques. Elles possèdent des propriétés permettant une étude rapide du phénomène.
Suite géométrique
Une suite \left( u_n\right) est dite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n pour lequel u_n est défini, on a :
u_{n+1}=u_n \times q
Le réel q est appelé la raison de la suite.
Soit (u_n) définie par :
\begin{cases}u_0=5\\\text{Pour tout } n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_{n}\times \dfrac{1}{2}\end{cases}
(u_n) est une suite géométrique de raison q= \frac{1}{2}.
- Si le premier terme d'une suite géométrique est nul, alors tous ses termes sont nuls.
- Si la raison d'une suite géométrique est nulle, alors tous ses termes à partir du 2e terme sont nuls.
La raison d'une suite géométrique est le coefficient multiplicateur entre deux termes consécutifs. Pour passer d'un terme au suivant, on le multiplie par la raison.
Un livret bancaire a un taux d'intérêt composé annuel de 1,25 %. On y place un capital de 100 €. Tous les ans, les intérêts sont calculés sur le capital obtenu à l'issue de l'année. On note u_n le montant sur le livret au bout de n années.
Ainsi, on a :
u_{0}=100
Par ailleurs, augmenter un nombre de 1,25 % revient à le multiplier par \left( 1+\dfrac{1{,}25}{100}\right). Ainsi :
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=1{,}0125\times u_n
La suite (u_n) ainsi définie est une suite géométrique de premier terme u_{0}=100 et de raison q = 1{,}0125 .
Soit (u_n) est une suite géométrique de raison q\neq 0 définie à partir d'un rang n_0, avec u_{n_0}\neq 0.
Pour tout n\geq n_0, on a :
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q
Soit (u_n) la suite géométrique définie par :
\begin{cases}u_0=5\\\text{Pour tout } n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_{n}\times \dfrac{1}{2}\end{cases}
La suite (u_n) est la suite géométrique de premier terme 5 et de raison \dfrac{1}{2}.
Alors pour tout n\in\mathbb{N},
\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{1}{2}.
Soit (u_n) est une suite géométrique de raison q\neq 0 définie à partir d'un rang n_0, avec u_{n_0}\neq 0.
Pour tout n\geq n_0, le taux d'évolution entre deux termes consécutifs u_n et u_{n+1} est constant et égal à :
\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=q-1
Soit (u_n) la suite géométrique définie par :
\begin{cases}u_0=5\\\text{Pour tout } n\in\mathbb{N},u_{n+1}=u_{n}\times \dfrac{1}{2}\end{cases}
La suite (u_n) est la suite géométrique de premier terme 5 et de raison \dfrac{1}{2}.
Alors pour tout n\in\mathbb{N},
\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=\dfrac{1}{2}-1,
soit
\dfrac{u_{n+1}-u_n}{u_n}=\dfrac{-1}{2}.
Si \left( u_n\right) est une suite géométrique de raison q, alors pour tous entiers naturels n et p pour lesquels u_n et u_p sont définis, on a :
u_n=u_p\times q^{n-p}
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q=3 telle que u_6 = 9. Alors :
\text{Pour tout } n\in\mathbb{N}, u_n=u_6 \times q^{n-6}
\text{Pour tout } n\in\mathbb{N}, u_n= 9\times 3^{n-6}
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q.
Alors,
\text{pour tout } n \in \mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n
Soit (u_n) une suite géométrique de premier terme u_0 = 1 et de raison q=2.
Alors,
\text{pour tout } n \in \mathbb{N}, u_n=u_0 \times q^{n} = 2^{n}
La propriété précédente donne une forme explicite de la suite (u_n), c'est-à-dire une forme permettant de calculer n'importe quel terme de la suite directement.
La représentation graphique des suites géométriques
Une suite (u_n) est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n, u_n) . Lorsque la suite est géométrique à termes strictement positifs, les points ne sont pas alignés mais suivent une courbe d'allure caractéristique de ce type d'évolution.
Soit (u_n) une suite géométrique à termes strictement positifs de raison q.
- Si q<1, la représentation graphique de la suite (u_n) ressemble à :
- Si q=1, la suite est constante et les points représentant la suite sont alignés sur une droite parallèle à l'axe des abscisses. La représentation graphique de la suite (u_n) ressemble donc à :
Si q>1, la représentation graphique de la suite (u_n) ressemble à :
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=3 et de raison q=1{,}2.
Les points représentant la suite (u_n) sont les points de coordonnées (n; u_n).
Or, pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n,
soit u_n=3\times 1{,}2^n.
Les 10 premiers points représentant la suite (u_n) sont les suivants :
Le sens de variation des suites géométriques
Suivant la valeur de sa raison q, une suite géométrique à termes strictement positifs est croissante, décroissante ou constante.
Soit q un réel strictement positif.
Soit \left( u_n\right) la suite définie par :
\text{Pour tout } n \in \mathbb{N}, u_n=q^n
La monotonie de (u_n) dépend de la valeur de q :
- Si 0<q<1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est strictement décroissante.
- Si q>1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est strictement croissante.
- Si q=1, la suite \left( u_n\right)_{n\in\mathbb{N}} est constante et vaut 1.
Soit (u_n) la suite définie sur \mathbb{N} par :
u_n=0{,}5^n
u_n est de la forme q^n avec q=0{,}5.
Comme 0<q<1, la suite (u_n) est strictement décroissante.
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0>0 et de raison q>0.
Le sens de variations de la suite (u_n) est le même que celui de la suite (v_n) définie par v_n=q^n pour tout n\in\mathbb{N}.
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=5 et de raison q=3.
La suite (u_n) a le même sens de variations que la suite (v_n) définie par v_n=q^n pour tout n\in\mathbb{N}.
Comme q>1, la suite (v_n) est strictement croissante.
Par conséquent, la suite (u_n) est également strictement croissante.
La détermination de seuil
Une suite géométrique à termes strictement positifs non constante dépasse n'importe quel seuil si elle est croissante. À l'inverse, elle passe au-dessous de n'importe quel seuil strictement positif si elle est décroissante.
Soit (u_n) une suite géométrique à termes strictement positifs de raison q.
Si 0<q<1, la suite (u_n) passe en dessous de n'importe quel seuil A>0 à partir d'un certain rang.
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=5 et de raison q=0{,}5.
Comme 0<q<1 les termes u_n passent en-dessous du seuil A=0{,}01 à partir d'un certain rang.
Pour déterminer le premier rang à partir duquel les termes u_n passent en-dessous de A, on utilise une calculatrice et son mode "Suites" ou un tableur.
Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n,
soit u_n=5\times 0{,}5^n.
On cherche donc le premier n\in\mathbb{N} tel que 5\times 0{,}5^n<0{,}01.
Une calculatrice donne :
Le premier rang n pour lequel u_n<0{,}01 est n=9.
Comme 0<q<1, la suite (u_n) est strictement décroissante.
Par conséquent, u_n<0{,}01 pour tout n\geq 9.
Le rang à partir duquel les termes u_n passent en dessous du seuil 0{,}01 est donc 9.
Soit (u_n) une suite géométrique à termes strictement positifs de raison q.
Si q>1, la suite (u_n) dépasse n'importe quel seuil A à partir d'un certain rang.
Soit (u_n) la suite géométrique de premier terme u_0=5 et de raison q=1{,}5.
Comme q>1 les termes u_n dépassent le seuil A=100\, 000 à partir d'un certain rang.
Pour déterminer le premier rang à partir duquel les termes u_n dépassent A, on utilise une calculatrice et son mode "Suites" ou un tableur.
Pour tout n\in\mathbb{N}, u_n=u_0\times q^n,
soit u_n=5\times 1{,}5^n.
On cherche donc le premier n\in\mathbb{N} tel que 5\times 1{,}5^n>100\, 000.
Une calculatrice donne :
Le premier rang n pour lequel u_n>100\, 000 est n=25.
Comme q>1, la suite (u_n) est strictement croissante.
Par conséquent, u_n>100\, 000 pour tout n\geq 25.
Le rang à partir duquel les termes u_n dépassent seuil 100\, 000 est donc 25.
Les fonctions exponentielles
Lors de l'étude de phénomènes continus, l'outil mathématique des fonctions est très utile. Si l'évolution du phénomène est proportionnelle à la valeur une unité de temps plus tôt, on parle à nouveau de croissance exponentielle.
Racine n-ième et puissance 1/n
Les phénomènes évoluant avec une croissance linéaire ont des valeurs utilisant les puissances, mais les puissances entières vues jusqu'en 2nde ne suffisent plus pour décrire ces phénomènes.
La racine n-ième d'un réel positif avec n entier naturel non nul
Soit a un réel positif et n un entier naturel non nul.
On appelle racine n-ième du réel a le réel positif x tel que :
x^n=a
On le note \sqrt[n]{a}.
La racine 3-ième (ou racine cubique) du réel 125 est 5,
car 5 est le réel positif x tel que x^3=125.
On a bien 5\geq 0 et 5^3=125.
La racine 6-ième du réel 729 est 3,
car 3 est le réel positif x tel que x^6=729.
On a bien 3\geq 0 et 3^6=729.
Quelque soit l'entier naturel non nul n,
\sqrt[n]{0}=0.
La puissance 1/n d'un réel strictement positif
Soit a un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
On appelle puissance 1/n du réel a le réel strictement positif x tel que :
x^n=a
On le note a^{1/n}.
125^{1/3}=5,
car 5 est le réel strictement positif x tel que x^3=125.
On a bien 5>0 et 5^3=125.
Pour les nombres réels strictement positifs, la racine n-ième et la puissance 1/n sont égales.
D'après les exemples précédents, on a :
\sqrt[3]{125}=125^{1/3}=5.
Puissance rationnelle
Soit a un réel strictement positif et n=\frac{p}{q} un nombre rationnel strictement positif.
La puissance n-ième du réel a, notée a^n, est définie par :
a^n=\left(a^p\right)^{1/q}.
125^{\frac{2}{3}}=25,
car 125^{\frac{2}{3}}=\left(125^2\right)^{1/3}=15\, 625^{1/3}=25.
Soit a un réel strictement positif et n=\frac{p}{q} un nombre rationnel strictement positif.
a^n=\left(a^{1/q}\right)^{p}.
Autrement dit, \left(a^p\right)^{1/q}=\left(a^{1/q}\right)^{p}.
D'après l'exemple précédent, \left(125^2\right)^{1/3}=25.
De plus, \left(125^{1/3}\right)^{2}=5^2=25.
Définition des fonctions exponentielles
Lors de l'étude d'un phénomène continu à croissance exponentielle, les fonctions introduites sont dites exponentielles.
Puissance réelle positive
Soit a un réel strictement positif et x un réel positif.
On définit a puissance x par :
- a^x=1 si x=0
- a^x=a^{p/q} si xest le rationnel strictement positif \frac{p}{q} (avec p et q entiers naturels non nuls)
- a^x est le résultat obtenu par la calculatrice lorsque x est un réel positif non rationnel
- 125^0=1
- 125^{2/3}=25 (d'après les exemples précédents)
- 125^\pi\approx 3\, 869\, 341{,}8 (résultat obtenu avec la calculatrice)
Exponentielle de base a
Soit a un réel strictement positif.
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction définie sur [0;+\infty[ par :
x\mapsto a^x.
La fonction exponentielle de base 2 est la fonction f définie sur [0;+\infty[ par :
f(x)=2^x.
Propriétés algébriques des fonctions exponentielles
Comme les suites géométriques à termes strictement positifs, les fonctions exponentielles possèdent des propriétés permettant une étude rapide du phénomène.
Soit a, b, x et y des réels strictement positifs tels que x>y.
Alors,
- a^x\times a^y=a^{x+y}
- \dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}
- \left(a^x\right)^y=a^{x\times y}
- a^x\times b^x=(a\times b)^{x}
- \dfrac{a^x}{b^x}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}
- 2^5\times 2^{1/3}=2^{5+\frac{1}{3}}=2^{16/3}
- \dfrac{2^5}{2^{1/3}}=2^{5-\frac{1}{3}}=2^{14/3}
- \left(2^5\right)^{1/3}=2^{5\times \frac{1}{3}}=2^{5/3}
- 2^{1/3}\times 10^{1/3}=(2\times 10)^{1/3}=20^{1/3}
- \dfrac{2^{1/3}}{10^{1/3}}=\left(\dfrac{2}{10}\right)^{1/3}=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{1/3}
Les propriétés algébriques des puissances entières restent valables avec les puissances réelles.
Représentation graphique des fonctions exponentielles
Une fonction f est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (x, f(x)) . Lorsque la fonction est exponentielle, les points ne sont pas alignés mais suivent une courbe caractéristique de ce type d'évolution.
Soit a un réel strictement positif.
- Si 0<a<1, la courbe de la fonction exponentielle de base a a une allure du type suivant :
- Si a=1, la fonction exponentielle de base a est constante et sa courbe représentative est la suivante :
- Si a>1, la courbe de la fonction exponentielle de base a a une allure du type suivant :
La courbe de la fonction exponentielle de base 1{,}5 est la suivante :
Les courbes obtenues sont une sorte de prolongement des représentations graphiques des suites géométriques obtenues à la partie I - B.
Sens de variation des fonctions exponentielles
Comme les suites géométriques à termes strictement positifs, les fonctions exponentielles sont monotones.
Soit a un réel strictement positif.
- Si 0<a<1, la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur [0;+\infty[.
- Si a=1, la fonction exponentielle de base a est constante sur [0;+\infty[.
- Si a>1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur [0;+\infty[.
La fonction exponentielle de base \pi est strictement sur [0;+\infty[ car \pi>1.
Détermination de seuil
Une fonction exponentielle non constante dépasse n'importe quel seuil si elle est croissante et passe au-dessous de n'importe quel seuil strictement positif si elle est décroissante.
Soit a un réel strictement positif.
Si 0<a<1, la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A>0 pour x assez grand.
Soit a=0{,}5 et f la fonction exponentielle de base a.
Comme 0<a<1, les valeurs de f(x) passent en-dessous du seuil A=0{,}01 pour x assez grand.
Pour déterminer à partir de quel réel, les valeurs de f(x) passent en-dessous de A, on utilise une calculatrice et son mode "Fonctions" ou un tableur.
Ici, on cherche le réel x_0 tel que 0.5^x<0{,}01 dès que x>x_0.
Une calculatrice donne environ 6{,}64 comme antécédent de 0{,}01 par la fonction f.
En notant x_0 la valeur exacte de l'antécédent, on a donc :
0{,}5^x<0{,}01 pour x>x_0.
Soit a un réel strictement positif.
Si a>1, la fonction exponentielle de base a dépasse n'importe quel seuil A pour x assez grand.
Soit a=2{,}5 et f la fonction exponentielle de base a.
Comme a>1, les valeurs de f(x) dépassent le seuil A=100\, 000) pour \(x assez grand.
Pour déterminer à partir de quel réel, les valeurs de f(x) dépassent A, on utilise une calculatrice et son mode "Fonctions" ou un tableur.
Ici, on cherche le réel x_0 tel que 2{,}5^x>100\, 000 dès que x>x_0.
Une calculatrice donne environ 12{,}57) comme antécédent de \(100\, 000 par la fonction f.
En notant x_0 la valeur exacte de l'antécédent, on a donc :
2{,}5^x>100\, 000 pour x>x_0.
Le taux d'évolution moyen
Lorsque l'on étudie plusieurs évolutions successives différentes (par exemple sur plusieurs années), l'évolution moyenne est souvent recherchée.
Taux d'évolution moyen
Soit n évolutions successives de taux respectifs t_1, t_2, ..., t_n.
On note T le taux global d'évolution obtenu à l'issue de ces n évolutions successives.
Le taux d'évolution moyen est le taux t_m qui donne le même taux global d'évolutions après n évolutions successives de taux t_m.
Le prix d'un article perd 20% durant la première moitié de l'année, puis regagne 1,25% durant la deuxième moitié de l'année.
Le taux global d'évolution sur l'année est :
T=(1-0{,}20)(1+0{,}0125)-1=-0{,}19
Si l'article avait perdu 10% durant la première moitié de l'année, puis à nouveau perdu 10% sur la deuxième moitié de l'année, le taux global d'évolution aurait été :
T=(1-0{,}10)(1-0{,}10)-1=-0{,}19
On aurait le même taux global d'évolution.
Ainsi le taux d'évolution moyen sur les deux semestres de l'année est -10%.
Soit n évolutions successives de taux respectifs t_1, t_2, ..., t_n.
Le taux d'évolution moyen est donné par :
t_m=\left[(1+t_1)(1+t_2)...(1+t_n)\right]^{1/n}-1.
Sur trois mois consécutifs un article augmente de 10% au cours du premier mois, 20% au cours du deuxième mois et 30% au cours du troisième mois.
Le taux d'évolution moyen sur ces trois mois est :
t_m=\left[(1+0{,}10)(1+0{,}20)(1+0{,}30)\right]^{1/3}-1
t_m\approx 0{,}197\, 2
Le taux d'évolution moyen sur ces trois mois est environ de 19,72%.
Situations et problèmes liés
De nombreux phénomènes étudiés en économie, en sciences ou de la vie courante ont une croissance exponentielles. On peut donc les modéliser avec des suites géométriques ou des fonctions exponentielles.
Lorsque l'on place une somme fixe sur un compte rémunéré avec des intérêts composés, l'argent sur le compte suit une croissance exponentielle.
On peut modéliser la somme sur le compte par une suite géométrique.
En 2022, Tom place 1\, 000 € sur un livret rémunéré avec un intérêt composé de 2% par an. Il cherche à étudier l'évolution de l'argent sur ce compte sans en déposer ou en retirer.
En notant u_n la somme sur le compte à l'année 2022+n, la suite (u_n) est une suite géométrique de raison q=1+\frac{2}{100}, soit 1{,}02 et de premier terme u_0=1\, 000.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a : u_n=u_0\times q^n,
soit u_n=1\, 000\times 1{,}02^n.
Au bout de 10 ans, la somme d'argent sur le compte sera égale à :
u_{10}=1\, 000\times 1{,}02^{10}
u_{10}\approx 1\, 218{,}99,
soit 1218{,}99 €.
Comme tous les isotopes radioactifs d'atome, les atomes de carbone 14 (noté {}_{6}^{14}C) ont une probabilité d'être désintégrés égale à \frac{1}{2} au bout d'un temps appelé demi-vie.
Pour le carbone 14, la demi-vie est égale à 5740 ans.
À partir d'une quantité initiale donnée d'atomes de carbone 14, la proportion d'atomes restant par rapport à la quantité initiale suit une croissance exponentielle.
On note N_0 la quantité initiale d'atomes de carbone 14 contenue dans les os d'une personne qui vient de décéder.
On note N_x la quantité d'atomes de carbone 14 restant après x années.
On a donc :
N_x=N_0\times \left(\frac{1}{2}\right)^{x/5740}
On note f(x) la proportion d'atomes de carbone 14 restant par rapport à la quantité initiale.
On a : f(x)=\dfrac{N_x}{N_0},
soit f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x/5740},
ou encore f(x)=a^x avec a=\left(\frac{1}{2}\right)^{1/5740}.