L'étude de la dynamique d'un système
Les outils nécessaires à la description du mouvement
Avant d'étudier ou de prévoir le mouvement d'un corps, il faut préciser le système, le référentiel et le bilan des forces qui s'exercent sur le système :
| Prérequis | Système | Référentiel | Bilan des forces |
|---|---|---|---|
| Définition | Corps dont on étudie le mouvement, | Objet par rapport auquel on étudie le mouvement du système, constitué d'un repère orthonormé (O, \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} ) associé à un repère de temps. | Inventaire des forces extérieures qui s'exercent sur le système |
| Exemples | N'importe quel corps ou ensemble de corps |
| Les forces à connaître sont :
|
On appelle « référentiels galiléens » les référentiels dans lesquels on peut appliquer les lois de Newton. C'est le cas des référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique et des corps qui sont au repos ou en mouvement rectiligne et uniforme dans ces référentiels.
Un train qui est en mouvement rectiligne et uniforme dans le référentiel terrestre est aussi un référentiel galiléen.
Les vecteurs décrivant le mouvement d'un point
Dans un référentiel donné, le mouvement d'un système est décrit, à chaque instant, grâce à ses vecteurs position, vitesse et accélération :
| Vecteur | Position \overrightarrow{OG} | Vitesse \overrightarrow{v} | Accélération \overrightarrow{a} |
|---|---|---|---|
| Expression selon les axes du repère | \overrightarrow{OG} = x.\overrightarrow{i} +y.\overrightarrow{j} | Dérivée de la position par rapport au temps : \overrightarrow{v} = \dfrac{dx}{dt}.\overrightarrow{i} +\dfrac{dy}{dt}.\overrightarrow{j} \overrightarrow{v} = v_x.\overrightarrow{i} + v_y.\overrightarrow{j} | Dérivée de la vitesse par rapport au temps : \overrightarrow{a} = \dfrac{dv_x}{dt}.\overrightarrow{i} +\dfrac{dv_y}{dt}.\overrightarrow{j} Donc dérivée seconde de la position par rapport au temps : \overrightarrow{a} = \dfrac{d²x}{dt²}.\overrightarrow{i} +\dfrac{d²y}{dt²}.\overrightarrow{j} |
| Construction vectorielle à un instant t_i | \overrightarrow{v_i} = \dfrac{\overrightarrow{OG_{i+1}} - \overrightarrow{OG_{i}}}{\tau} | \overrightarrow{a_i} = \dfrac{\overrightarrow{v_{i+1}} - \overrightarrow{v_{i}}}{\tau} | |
| Expression de la valeur à un instant t_i | v_i = \dfrac{G_{i+1}G_{i}}{\tau} (G_{i+1}G_{i-1} étant une distance) | a_i = \dfrac{v_{i+1} - v_{i}}{\tau} | |
| Unité de la valeur du vecteur | m | m.s-1 | m.s-2 |
| Orientation | Celle du mouvement au point donné | Celle de la somme des forces au point donné | |
| Dérivée du vecteur | Vecteur position \overrightarrow{OG} | Vecteur vitesse \overrightarrow{v} | |
| Primitive du vecteur | Vecteur vitesse \overrightarrow{v} | Vecteur accélération \overrightarrow{a} |
Les différents types de mouvement
La comparaison des vecteurs vitesse et accélération d'un corps permet de déterminer son mouvement :
Les lois de Newton
| Lois | 1re loi de Newton | 2e loi de Newton | 3e loi de Newton |
|---|---|---|---|
| Autre appellation | Principe de l'inertie | Relation fondamentale de la dynamique | Principe des actions réciproques |
| Énoncé | Lorsqu'un corps n'est soumis à aucune force ou à des forces qui se compensent, alors soit il demeure au repos, soit il est animé d'un mouvement rectiligne et uniforme. | La somme des forces extérieures s'exerçant sur un système est égale au produit de la masse et de son vecteur accélération : \sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \times \overrightarrow{a}
| Si un système A exerce une force \overrightarrow{F_{A/B}} sur un système B, alors le système B exerce une force \overrightarrow{F_{B/A}} sur le système A de même intensité, ayant la même direction mais de sens opposé : \overrightarrow{F_{B/A}} = - \overrightarrow{F_{A/B}} |
| Permet de déterminer | L'état de repos ou de mouvement rectiligne et uniforme du système | L'expression du vecteur accélération du système | Les caractéristiques d'une force |
Le cas particulier d'un système en mouvement dans un champ uniforme
La description du problème
Dans cette partie, on considère, dans un plan (Oxy), un système de masse m, de charge totale q et possédant une vitesse initiale \overrightarrow{v_0}. Le mouvement de ce système dépend du champ uniforme dans lequel il est situé.
Champ uniforme
Un champ uniforme est un champ vectoriel qui reste identique en tout point de l'espace considéré.
Le champ de pesanteur est un champ uniforme à proximité de la surface terrestre défini par le vecteur accélération de la pesanteur \overrightarrow{g} dont les caractéristiques sont les suivantes :
- Sa direction est la verticale du lieu considéré.
- Son sens est toujours celui définissant une orientation vers le sol du lieu considéré.
- Sa norme vaut environ 9,81 N.kg-1.
Poids
Dans un champ de pesanteur, la force qui s'exerce sur un système de masse m est le poids :
\overrightarrow{P} = m \overrightarrow{g}
Force électrique
Dans un champ électrique, la force qui s'exerce sur un système de charge q est la force électrique :
\overrightarrow{F_e} = q \overrightarrow{E}
La deuxième loi de Newton permet de relier les actions mécaniques qui agissent sur un système et leur conséquence sur le mouvement de ce système. Elle permet donc de prévoir l'évolution du mouvement d'un système en donnant les équations horaires de son mouvement (x_{(t)}, y_{(t)} et z_{(t)}) et l'équation de sa trajectoire (en deux dimensions et suivant le nom de l'axe vertical y_{(x)} ou z_{(x)}).
Les équations vectorielles du mouvement
Pour trouver les équations du mouvement, il faut :
- définir le système étudié ;
- définir le référentiel d'étude (qui doit être galiléen) ;
- faire le bilan des forces ;
- écrire la deuxième loi de Newton, qui donne l'expression du vecteur accélération du système (puisque sa masse est constante).
Expression du vecteur accélération
Pour un système de masse constante, la deuxième loi de Newton donne :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
Soit :
- Si le système est soumis à un champ de pesanteur : \overrightarrow{P} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow m \overrightarrow{g} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \overrightarrow{g}
- Si le système est soumis à un champ électrique : \overrightarrow{F_e} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow q \overrightarrow{E} = m \overrightarrow{a} \Leftrightarrow \overrightarrow{a} = \dfrac{q}{m}\overrightarrow{E}
Composantes du vecteur accélération
Les composantes du vecteur accélération dans le repère (Oxy) dépendent alors de celles du champ de pesanteur ou du champ électrique :
- Dans un champ de pesanteur : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x \cr \cr g_y \end{cases}
- Dans un champ électrique : \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x \cr \cr a_y \end{cases} = \dfrac{q}{m}\times \overrightarrow{E}\begin{cases} \dfrac{q}{m} \times E_x \cr \cr \dfrac{q}{m} \times E_y \end{cases}
Il faut donc déterminer les composantes des vecteurs \overrightarrow{g} et \overrightarrow{E}, en fonction de leur orientation dans le repère.
Figure 1
Figure 2
Par la suite, on prendra les configurations suivantes :
- Vecteur champ de pesanteur \overrightarrow{g} colinéaire à l'axe (O_y) mais de sens opposé (figure 1), ce qui donne : \overrightarrow{g}\begin{cases} g_x = 0 \cr \cr g_y = -g\end{cases} et donc \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = 0 \cr \cr a_y = - g \end{cases}
- Vecteur champ électrique \overrightarrow{E} colinéaire à l'axe (O_x) et de même sens (figure 2), ce qui donne : \overrightarrow{E}\begin{cases} E_x = E \cr \cr E_y = 0\end{cases} et donc \overrightarrow{a}\begin{cases} a_x = \dfrac{q}{m} \times E \cr \cr a_y = 0 \end{cases}
Les équations horaires et l'équation de la trajectoire
Équations horaires
Les équations horaires sont les équations donnant la position du système en fonction du temps. Elles s'obtiennent en intégrant deux fois les équations du mouvement (composantes de l'accélération).
Intégrations successives
Équations horaires de la vitesse
On obtient les équations horaires de la vitesse du système en intégrant les composantes du vecteur accélération en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur vitesse initiale \overrightarrow{v_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = v_{0x} \cr \cr v_{y} =-g \times t + v_{0y} \cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{v\left(t\right)} \begin{cases} v_{x} = \dfrac{q}{m} \times E \times t + v_{0x} \cr \cr v_{y} = v_{0y} \cr \end{cases}
Équations horaires de la position
On obtient les équations horaires de la position du système en intégrant les composantes du vecteur vitesse en fonction du temps. Les constantes d'intégration sont alors égales aux composantes du vecteur position initiale \overrightarrow{OG_0} du système.
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y =- \dfrac{1}{2} g \times t^2 + v_{0y} \times t + y_0\cr \end{cases}
- Dans le cas du champ électrique précédent : \overrightarrow{OG\left(t\right)} \begin{cases} x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times t^2 + v_{0x} \times t + x_0\cr \cr y = v_{0y} \times t + y_0 \cr \end{cases}
En éliminant le temps des équations horaires, on obtient l'équation de la trajectoire.
Équation de la trajectoire
En exprimant la variable t en fonction d'une des deux variables (celle dont l'équation horaire est la plus simple) puis en remplaçant l'expression de t ainsi obtenue dans la deuxième équation horaire, on obtient l'équation de la trajectoire (y_{(x)} plus rarement x_{(y)}) :
- Dans le cas du champ de pesanteur précédent : t = \dfrac{x-x_o}{v_{0x}} \Rightarrow y =- \dfrac{1}{2} g \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right)^2 + v_{0y} \times \left(\dfrac{x-x_o}{v_{0x}}\right) + y_0
- Dans le cas du champ électrique précédent : t = \dfrac{y-y_o}{v_{0y}} \Rightarrow x = \dfrac{q}{2 m} \times E \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right)^2 + v_{0x} \times \left(\dfrac{y-y_o}{v_{0y}}\right) + x_0
Si l'équation de la trajectoire est du type y_{\left(x\right)} = A\times x^2 + B \times x + C, alors la trajectoire du système est une parabole.
Le cas particulier des planètes et des astres
La loi universelle de la gravitation
Loi universelle de la gravitation
La loi universelle de la gravitation est une loi empirique vérifiée expérimentalement qui traduit l'action mécanique qu'exercent l'un sur l'autre deux corps possédant une masse.
Les forces \overrightarrow{F_{A/B}} et \overrightarrow{F_{B/A}} sont les forces de gravitation entre les objets A et B. La loi universelle de la gravitation donne l'expression de ces forces :
\overrightarrow{F_{A/B}}= - \overrightarrow{F_{B/A}}= - G \dfrac{m_A\times m_B}{r^2}\overrightarrow{e_{AB}}
Avec :
- G la constante universelle de gravitation : G=6{,}67.10^{-11} \text{m}^3.\text{kg}^{-1}.\text{s}^{-2}
- m_A la masse du corps A (en kg)
- m_B la masse du corps B (en kg)
- r la distance entre les deux corps (en m)
- \overrightarrow{e_{AB}} le vecteur unitaire orienté de A vers B
La description du problème
On étudie le mouvement d'un objet O, de masse m, attiré par un astre A de masse M.
L'objet O étant en rotation, on utilise un repère mobile (ou repère de Frenet) (O,\overrightarrow{U_N},\overrightarrow{U_T}), qui simplifie les composantes du vecteur accélération.
Dans le repère mobile (O,\overrightarrow{U_N},\overrightarrow{U_T}) :
- Le vecteur unitaire \overrightarrow{U_N} est perpendiculaire à la trajectoire de l'objet O.
- Le vecteur unitaire \overrightarrow{U_T} est tangent à la trajectoire de l'objet O.
Dans le repère mobile (O,\overrightarrow{U_N},\overrightarrow{U_T}), les composantes du vecteur accélération de l'objet O sont :
\overrightarrow{a} \begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} \cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{AO}\end{cases}
Où AO est la distance séparant l'astre attracteur A et l'objet O.
Les lois de Kepler
Les lois de Kepler sont des lois empiriques qui décrivent la trajectoire des planètes du système solaire autour du Soleil et par extension celles de tout corps autour d'un astre attracteur :
| 1re loi de Kepler | 2e loi de Kepler | 3e loi de Kepler | |
|---|---|---|---|
| Énoncé | Les orbites définissant les trajectoires des planètes sont elliptiques, l'un des foyers de ces ellipses étant le Soleil. | Le rayon reliant une planète au Soleil balaie des aires égales en des temps égaux. | Le rapport entre le carré de la période de révolution T et le cube du demi-grand axe de l'ellipse a (ou le rayon de l'orbite, dans le cas où elle est circulaire) est constant : \dfrac{T^2}{a^3}=\text{constante} |
L'équation du mouvement
Avant d'appliquer la deuxième loi de Newton, il faut :
- Définir le système : objet O de masse m, en orbite circulaire autour de l'astre A avec un rayon r.
- Définir le référentiel d'étude : référentiel considéré galiléen rattaché à l'astre A considéré fixe.
- Faire le bilan des forces : force d'attraction gravitationnelle de l'astre A sur l'objet O d'expression \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}.
Équation du mouvement
En appliquant la deuxième loi de Newton, à l'objet O de masse constante, la deuxième loi de Newton donne :
\sum_{}^{} \overrightarrow{F_{ext}} = m \overrightarrow{a}
m \overrightarrow{a} = \overrightarrow{F_{A/O}}= G\dfrac{M \times m}{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
\overrightarrow{a} = G\dfrac{M }{r^2} \overrightarrow{u_{N}}
Soit :
\overrightarrow{a}\begin{cases} a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0 \cr \cr a_N = \dfrac{v^2}{r} = G\dfrac{M }{r^2} \end{cases}
Les conséquences de l'équation du mouvement
L'équation du mouvement de l'objet O en rotation autour de l'astre A permet d'affirmer que :
- Le mouvement circulaire est forcément uniforme : puisque a_T = \dfrac{dv}{dt} = 0, v est constante.
- La valeur de la vitesse de l'objet O est : v = \sqrt{\dfrac{GM }{r}} puisque a_N = \dfrac{v^2}{r} = G\dfrac{M }{r^2}.
- La période de révolution T de l'objet O est telle que T^2 = \dfrac{4 \pi^2 r^3}{GM} (on retrouve ainsi la 3e loi de Kepler), puisque la durée mise par cet objet à effectuer un tour autour de l'astre A est donnée par : T = \dfrac{d}{v} = \dfrac{2 \pi r}{v} = \dfrac{2 \pi r}{\sqrt{\dfrac{GM }{r}}}
L'étude énergétique
Le travail d'une force
Généralités
Le travail d'une force caractérise l'énergie que cette force transfère au système.
Travail d'une force
Le travail W d'une force constante \overrightarrow{F} s'exerçant sur un système qui se déplace d'un point A à un point B est égal au produit scalaire du vecteur \overrightarrow{F} par le vecteur \overrightarrow{AB} :
W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) = \overrightarrow{F} . \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \text{cos }\alpha
Où :
- Le travail W_{AB}\left(\overrightarrow{F}\right) est exprimé en joules (J).
- F est la valeur de la force \overrightarrow{F}, exprimée en newtons (N).
- AB est la distance séparant les points A et B, exprimée en mètres (m).
- \alpha est l'angle entre les vecteurs \overrightarrow{F} et \overrightarrow{AB}.
En fonction de l'orientation de la force \overrightarrow{F} relativement au vecteur déplacement \overrightarrow{AB}, on distingue plusieurs types de travail :
| Nature du travail | Moteur | Nul | Résistant |
|---|---|---|---|
| Signe de la valeur W du travail | Positif | Négatif | |
| Valeur de l'angle \alpha | 0° \leqslant \alpha \lt 90° | \alpha = 90° | 90° \lt \alpha \leqslant 180° |
Le travail du poids
Travail du poids
Le travail du poids ne dépend que de la différence d'altitude entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = \overrightarrow{P} . \overrightarrow{AB} = m \times g \times \left(z_A - z_B\right)
Où :
- m est la masse du système, exprimée en kilogrammes (kg).
- z_A et z_B sont les altitudes des points A et B, exprimées en mètres (m).
- Lorsque le système descend, on a z_A \gt z_B, le travail du poids est donc positif et moteur.
- Lorsque le système s'élève, on a z_A \lt z_B, le travail du poids est donc négatif et résistant.
Le travail de la force électrique
Travail de la force électrique
Le travail de la force électrique ne dépend que de la différence de potentiel électrique entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{F_e}\right) = \overrightarrow{F_e} . \overrightarrow{AB} = q \times \left(V_A - V_B\right) = q \times U_{AB}
Où :
- q est la charge électrique du système, exprimée en coulombs (C).
- V_A et V_B sont les potentiels électriques des points A et B, exprimés en volts (V).
- U_{AB} est la tension électrique entre les points A et B, exprimée en volts (V).
Le travail des forces de frottements
Travail des forces de frottements
Le travail des forces de frottements lors d'un mouvement rectiligne entre les points A et B :
W_{AB}\left(\overrightarrow{f}\right) = \overrightarrow{f} . \overrightarrow{AB} = -f \times AB
Où :
- f est la valeur de la résultante des forces de frottements, exprimée en newtons (N).
- AB est la distance séparant les points A et B, exprimée en mètres (m).
Les forces conservatives
Force conservative
Une force est conservative si son travail ne dépend pas du chemin suivi.
- Le poids et la force électrique sont des forces conservatives.
- Les forces de frottements ne sont pas conservatives.
On peut associer à une force conservative une énergie potentielle. Le travail de la force lors d'un déplacement AB correspond alors à l'opposé de la variation de son énergie potentielle.
L'énergie potentielle associée au poids est l'énergie potentielle de pesanteur, d'expression E_{PP} = m \times g \times z (à une constante près). Ainsi, lors d'un déplacement AB :
W_{AB}\left(\overrightarrow{P}\right) = - \Delta E_{PP} = - \left(E_{\text{PP B}} - E_{\text{PP A}}\right) = - m \times g \times z_B + m \times g \times z_A = m \times g \times \left(z_A - z_B\right)
L'énergie mécanique
Énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système est la somme de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur :
E_M = E_C + E_{PP}
E_M = \dfrac{1}{2}m\times v^2 + m \times g \times z
Théorème de l'énergie mécanique
L'énergie mécanique d'un système soumis uniquement à des forces conservatives (ou à des forces qui ne travaillent pas) se conserve :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = 0
Si le système est soumis à une force non conservative, la variation de son énergie mécanique est égale au travail de celle-ci :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = W\left(\overrightarrow{F}_{\text{non conservative}}\right)
Si un pendule oscille sans frottements, il n'est soumis qu'à son poids (qui est une force conservative) et à la tension du fil (qui ne travaille pas, car elle est toujours perpendiculaire à la trajectoire). Ainsi, on peut en déduire que :
- son énergie mécanique se conserve ;
- les transferts d'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique se font sans pertes.
Si le pendule est soumis à une force de frottements (qui est une force non conservative), son énergie mécanique ne peut se conserver et diminue, car le travail des forces de frottements est négatif :
\Delta E_M = \Delta E_C + \Delta E_{PP} = W\left(\overrightarrow{f}\right) \lt 0
Lors des transferts d'énergie potentielle de pesanteur en énergie cinétique, une partie de l'énergie du pendule est dissipée.
La modélisation de l'écoulement d'un fluide
La poussée d'Archimède
Poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède, notée \overrightarrow{\Pi_A}, est la force que subit tout corps plongé dans un fluide et qui s'oppose en partie à son poids.
Un nageur subit un poids orienté verticalement et vers le bas. Lorsqu'il est immergé dans l'eau, il subit la poussée d'Archimède. Cette force s'oppose en partie à son poids, elle donc également verticale mais orientée vers le haut.
Forces subies par un nageur
Expression de la poussée d'Archimède
La poussée d'Archimède \overrightarrow{\Pi_A} que subit un corps est égale à l'opposé du poids du fluide déplacé par son immersion du solide :
\overrightarrow{\Pi_A} = - \overrightarrow{P}_{\text{fluide déplacé}}
Son expression vectorielle, en fonction de la masse volumique du fluide \rho_{\text{fluide}}, du volume du corps immergé V_{\text{corps}} et du champ de pesanteur \overrightarrow{g} est :
\overrightarrow{\Pi_A} = - \rho_{\text{fluide}} \times V_{\text{corps}} \times \overrightarrow{g}
Sa valeur est donc donnée par la relation :
\Pi_{A \text{ (N)}} = \rho_{\text{fluide (kg.m}^{-3})} \times V_{\text{corps }(m^{3})} \times g_{\text{ (N.kg}^{-1})}
Le volume d'un nageur est 78,2 L. Lorsqu'il est immergé dans l'eau d'une piscine, dont la masse volumique est \rho = \text{1 052 kg.m}^{-3}, la valeur de la poussée d'Archimède qu'il subit est :
\Pi_{A \text{ (N)}} = \rho_{ \text{ (kg.m}^{-3})} \times V_{\text{plongeur }(m^{3})} \times g_{\text{(N.kg}^{-1})}
\Pi_{A } =\text{1 052} \times 78{,}2 \times 10^{-3} \times 9{,}81
\Pi_{A } =807 \text{ N}
L'écoulement d'un fluide en régime permanent
Le débit volumique d'un fluide incompressible
Fluide incompressible
Un fluide incompressible est un fluide dont le volume ne dépend pas des intensités des forces pressantes qu'il subit.
Régime permanent ou stationnaire
On dit qu'un écoulement est en régime permanent ou stationnaire lorsqu'en chaque point la vitesse du fluide ne varie pas avec le temps.
Tous les écoulements non gênés par un bouchon ou un nœud peuvent être considérés comme étant en régime pemanent.
Débit volumique
Le débit volumique d'un écoulement, noté D_V et exprimé en \text{ m}^3.\text{s}^{-1}, est égal au quotient du volume V de fluide ayant circulé par la durée de l'écoulement \Delta t :
D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})} = \dfrac{V_{\text{ (m}^3)}}{\Delta t _{\text{ (s)}}}
Une pompe d'un système de filtration de piscine permet de traiter 30 m3 en 3 heures. Son débit volumique est donc :
D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})} = \dfrac{V_{\text{ (m}^3)}}{\Delta t _{\text{ (s)}}}
D_{V} = \dfrac{30}{3 \times \text{3 600}}
D_{V} = 2{,}8 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \text{s}^{-1}
La vitesse d'écoulement d'un fluide incompressible
Vitesse d'écoulement d'un fluide incompressible
La vitesse d'écoulement v d'un fluide incompressible est égale au quotient de son débit volumique D_V par la section S du conduit :
v_{\text{ (m.s}^{-1})} = \dfrac{D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})}}{S _{\text{ (m}^{-2})}}
La section S du conduit dépendant de son diamètre d :
S = \pi \times r^2 \Leftrightarrow S = \pi \times (\dfrac{d}{2})^2
Soit un écoulement dont le débit volumique est 2{,}8 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \text{s}^{-1} à travers une canalisation cylindrique de diamètre 5,0 cm. Sa vitesse est :
v_{\text{ (m.s}^{-1})} = \dfrac{D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})}}{S _{\text{ (m}^{2})}}
Avec :
S_{\text{ (m}^2)} = \pi \times (\dfrac{d_{\text{ (m)}}}{2})^2
D'où :
v_{\text{ (m.s}^{-1})} = \dfrac{D_{V\text{ (m}^3.\text{s}^{-1})}}{\pi \times (\dfrac{d_{\text{ (m)}}}{2})^2}
v= \dfrac{2{,}8 \times 10^{-3}}{\pi \times (\dfrac{5{,}0 \times 10^{-2}}{2})^2}
v = 1{,}4 \text{ m.s}^{-1}
Conservation du débit volumique
Lors d'un écoulement en régime permanent, le débit volumique est conservé. Il est le même en chaque point, quelle que soit la section :
D_{V \text{ (A)}} = D_{V \text{ (B)}}
Attention aux conversions des unités de surface :
1 \text{ cm}^2 = 10^{-4} \text{ m}^2 et 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2
La conséquence de la conservation du débit volumique est que la vitesse d'écoulement v est inversement proportionnelle à la section S de l'écoulement : si la section du conduit diminue, la vitesse d'écoulement du fluide augmente, et inversement.
Dans une canalisation de section 20 cm2, la vitesse d'un liquide est de 1{,}4 \text{ m.s}^{-1}.
Si à un endroit la section de la canalisation est doublée, la vitesse d'écoulement est divisée par 2 et atteint la valeur de 0{,}7 \text{ m.s}^{-1}.
Variation de la vitesse d'écoulement
La relation de Bernoulli
Énergie cinétique et potentielle de pesanteur par unité de volume d'un fluide
Lors d'un écoulement et en un point donné, l'énergie mécanique d'un fluide de masse volumique \rho, par unité de volume, est la somme de trois composantes :
| Type d'énergie (par unité de volume) | Énergie liée à la pression | Énergie cinétique | Énergie potentielle de pesanteur |
| Grandeur impliquée | La pression p en ce point | La vitesse v du fluide en ce point | L'altitude z de ce point |
| Expression | E_{p,v \text{ (J.m}^{-3})} = p_{\text{(Pa)}} | E_{c,v \text{ (J.m}^{-3})} = \dfrac{1}{2} \rho_{\text{ (kg.m}^{-3})}\times v^2_{\text{(m.s}^{-1})} | E_{pp,v \text{ (J.m}^{-3})} = \rho_{\text{ (kg.m}^{-3})}\times g_{\text{(m.s}^{-1})} \times z_{(m)} |
Ainsi, l'énergie mécanique par unité de volume en un point est :
E_{M, v \text{ (J.m}^{-3})} = E_{p,v \text{ (J.m}^{-3})} + E_{c,v \text{ (J.m}^{-3})} + E_{pp,v \text{ (J.m}^{-3})}
E_{M,v \text{ (J.m}^{-3})} = p_{\text{ (Pa})} + \dfrac{1}{2} \rho_{\text{ (kg.m}^{-3})}\times v^2_{\text{(m.s}^{-1})} + \rho_{\text{ (kg.m}^{-3})}\times g_{\text{(m.s}^{-1})} \times z_{(m)}
Relation de Bernoulli
Dans le cas où les frottements sont inexistants ou négligeables au cours d'un écoulement en régime permanent, l'énergie mécanique d'un fluide incompressible est la même en tout point. La relation de Bernoulli illustre cette conservation de l'énergie mécanique du fluide par unité de volume, c'est-à-dire que pour deux points A et B de l'écoulement :
E_{M,v}{ \text{ (A)}} =E_{M,v}{ \text{ (B)}}
Soit :
p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(A)}^2 + \rho\times g \times z_{(A)} = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2 + \rho\times g \times z_{(B)}
Une canalisation alimente en eau potable une habitation. Son profil est le suivant :
Au point A, la vitesse de l'eau est 1{,}4 \text{ m.s}^{-1} et les altitudes des deux points sont z_A = 0{,}10 \text{ m} et z_B = 2{,}2 \text{ m}. Sachant que pour que le système d'alimentation en eau fonctionne correctement, il faut qu'au point B la pression soit de 6{,}0 \text{ bars} et la vitesse 0{,}80 \text{ m.s}^{-1}, la relation de Bernoulli permet de calculer la pression nécessaire de l'eau au point A.
La relation de Bernoulli s'écrit :
p_{(A)} +\dfrac{1}{2} \rho\times v_{(A)}^2 + \rho\times g \times z_{(A)} = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times v_{(B)}^2 + \rho\times g \times z_{(B)}
On peut donc isoler la pression au point A :
p_{(A)} = p_{(B)} + \dfrac{1}{2} \rho\times (v_{(B)}^2-v_{(A)}^2) + \rho\times g \times (z_{(B)} -z_{(A)} )
D'où l'application numérique :
p_{(A)} = 6{,}0 \times 10^5 + \dfrac{1}{2} 1{,}0 \times 10^3\times (0{,}80^2-1{,}4^2) + 1{,}0 \times 10^3\times 9{,}81 \times (2{,}2 -0{,}10 )
p_{(A)} = 6{,}2 \times 10^5 \text{ Pa}
La pression au point A doit donc être égale à 6,2 bars.
Le modèle du gaz parfait
La description macroscopique d'un système thermodynamique
Système thermodynamique
Un système thermodynamique est un ensemble composé de N particules microscopiques, que l'on distingue du milieu extérieur dans le but d'étudier, le plus souvent, des échanges d'énergie.
| Variable d'état | Unité légale | Unité couramment utilisée | Interprétation microscopique |
| Masse volumique \bf \rho | Le kilogramme par mètre cube (\text{kg.m}^{–3}) | Le \text{kg.L}^{–1} et le \text{g.L}^{–1} 1 \text{ kg.L}^{–1} = 10^3 \text{ kg.m}^{–3} 1 \text{ g.L}^{–1} = 1 \text{ kg.m}^{–3} | Quantifie la masse de fluide contenu dans un certain volume |
| Pression \bf p | Le pascal (\text{Pa}) | Le bar (\text{bar}) 1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa} | Quantifie le nombre de chocs des particules sur les parois, et donc l'espace libre autour d'elles |
| Température \bf T | Le kelvin (\text{K}) | Le degré Celsius (\text{°C}) | Quantifie l'agitation thermique des particules |
Au niveau de la mer (altitude 0 m) et en conditions climatiques standard, l'air atmosphérique est caractérisé par :
- sa température moyenne : T = 15 \text{ °C} ;
- sa pression atmosphérique : p_{\text{atm}} = \text{1 013 hPa} ;
- sa masse volumique : \rho = 1{,}3 \ce{ g·L^{–1}}.
Température exprimée en kelvins
Le kelvin (K) est l'unité légale des températures. La règle de conversion avec l'unité degré Celsius (°C) est la suivante :
T_{\text{(K)}} = T_{\text{(°C)}} + 273{,}15
Une température de 20 \text{ °C} correspond à 293 \text{ K}, car :
T_{\text{(K)}} = T_{\text{(°C)}} + 273{,}15
T = 20 + 273{,}15
T = 293 \text{ K}
Lorsqu'un calcul fait intervenir une variation de température, exprimée en kelvins (K), on peut conserver l'unité degré Celsius (°C) car les variations exprimées dans ces deux unités sont égales :
\Delta T_{\text{(K)}} = \Delta T_{\text{(°C)}}
La notion de gaz parfait
Modèle du gaz parfait
Le modèle du gaz parfait permet de décrire le comportement de n'importe quel gaz à condition que l'on puisse négliger les interactions qui peuvent exister entre les molécules.
À basse pression, tous les gaz peuvent être modélisés par un gaz parfait.
Équation d'état du gaz parfait
L'équation d'état du gaz parfait relie la pression, le volume et la quantité de matière d'un gaz parfait (ces grandeurs étant exprimées dans leurs unités légales) :
p_{\text{(Pa)}} \times V_{\text{(m}^3)} = n_{\text{(mol)}} \times R_{\text{(J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1})} \times T_{\text{(K)}}
Où R est la constante des gaz parfaits : R = 8{,}314 \text{ J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1}
Le volume occupé par 2,0 mol de gaz à pression et température ambiantes (1 013 hPa et 20 °C) est V =48 \text{ L}.
En effet, l'équation d'état du gaz parfait étant :
p_{\text{(Pa)}} \times V_{\text{(m}^3)} = n_{\text{(mol)}} \times R_{\text{(J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1})} \times T_{\text{(K)}}
Le volume occupé par un gaz est :
V_{\text{(m}^3)} = \dfrac{n_{\text{(mol)}} \times R_{\text{(J.mol}^{-1}\text{.K}^{-1})} \times T_{\text{(K)}}}{p_{\text{(Pa)}} }
Il est nécessaire de convertir la pression et la température :
- p = \text{1 013 hPa} = \text{1 013} \times 10^2 \text{ Pa}
- T = 20 \text{ °C} = 20 + 273{,}15 \text{ K} = 293 \text{ K}
D'où :
V = \dfrac{2{,}0 \times 8{,}314 \times 293}{\text{1 013}\times10^2}
V =4{,}8 \times 10^{-2} \text{ m}^3
Les transferts thermiques
Généralités sur les transferts thermiques
Transfert et équilibre thermiques
Un transfert thermique est un échange d'énergie thermique (ou chaleur) qui a lieu d'un corps chaud vers un corps froid. Il cesse lorsque les corps sont en équilibre thermique, état atteint lorsque deux corps ont atteint la même température et n'échangent donc plus d'énergie thermique entre eux.
Les trois types de transferts thermiques
Il existe trois types de transferts thermiques :
| Type de transferts | Transferts par conduction | Transferts par convection | Transferts par rayonnement |
| Mécanisme du transfert | Énergie transmise par les particules de proche en proche | Énergie transmise par mouvement d'ensemble d'un fluide | Énergie transmise par la propagation d'onde électromagnétique |
| Milieu où le transfert est majoritaire | Milieu solide | Milieu fluide | Milieu non matériel |
Un feu de bois met à contribution les trois types de transfert thermique :
- La convection : la température de l'air le plus proche du feu augmente, il s'élève et il est remplacé par de l'air plus froid puis le cycle recommence.
- La conduction : si la pointe d'une tige métallique est placée près du feu, la chaleur va être conduite par le mouvement des particules qui la composent vers l'autre bout de la tige qui est tenu par notre main.
- Le rayonnement : le feu émet des ondes électromagnétiques qui se propagent dans l'air jusqu'aux mains de la personne.
Chaleur échangée
La chaleur échangée que reçoit ou libère un corps lors d'un transfert thermique dépend de sa masse m, de sa capacité calorifique c et de la variation de température \Delta T :
Q_{\text{ (J)}} = m_{\text{ (kg)}} \times c_{\text{ (J.kg}^{-1}\text{K}^{-1})} \times\Delta T_{\text{ (K)}}
Q_{\text{ (J)}} = m_{\text{ (kg)}} \times c_{\text{ (J.kg}^{-1}\text{K}^{-1})} \times(T_{f\text{ (K)}} -T_{i\text{ (K)}})
Où T_{f\text{ (K)}} est la température finale du système et T_{i\text{ (K)}} est la température initiale du système.
Lorsque la température de 250 g d'eau, dont la capacité calorifique est c = 4{,}18 \times 10^3 \text{ J.kg }^{-1}\text{K}^{-1}, passe de 20 °C à 100 °C, la chaleur reçue est :
Q_{\text{ (J)}} = m_{\text{ (kg)}} \times c_{\text{ (J.kg}^{-1}\text{K}^{-1})} \times\Delta T_{\text{ (K)}}
Q = 250 \times 10^{-3} \times 4{,}18 \times 10^{3} \times (100-20)
Q = 8{,}4 \times 10^{4} \text{ J}
Le signe de la chaleur échangée Q dépend de la nature du transfert thermique :
- Si le système étudié reçoit de la chaleur, sa température augmente. On a donc T_f \gt T_i \Leftrightarrow \Delta T \gt 0 \text{ K}\Leftrightarrow Q \gt O \text{ J}.
- Si le système étudié libère de la chaleur, sa température diminue. On a donc T_f \lt T_i \Leftrightarrow \Delta T \lt 0 \text{ K}\Leftrightarrow Q \lt O \text{ J}.
Le flux thermique est une puissance qui traduit la vitesse du transfert énergétique à travers une paroi.
Relation entre le flux et le transfert thermiques
Le flux thermique, noté \Phi, caractérise la vitesse d'un transfert thermique. Il correspond donc à une puissance et s'exprime en watts (W) :
\Phi_{\text{(W)}} = \dfrac{Q_{\text{(J)}}}{\Delta t_{\text{(s)}}}
Avec :
- Q : transfert thermique, en joules (J) ;
- \Delta t : durée du transfert, en secondes (s).
S'il faut une durée de 5,0 minutes pour faire chauffer 250 g d'eau initialement à 20 °C jusqu'à une température de 100 °C, sachant que l'énergie thermique apportée vaut Q = 8{,}4 \times 10^{4} \text{ J}, le flux thermique est de :
\Phi_{\text{(W)}} = \dfrac{Q_{\text{(J)}}}{\Delta t_{\text{(s)}}}
\Phi = \dfrac{8{,}4 \times 10^{4}}{5{,}0 \times 60}
\Phi = 2{,}8 \times 10^2 \text{ W}
Relation entre le flux thermique et la différence de température de part et d'autre d'une paroi
À travers une paroi, le flux thermique \Phi est proportionnel à l'écart de température \Delta T entre ses deux faces et inversement proportionnel à sa résistance thermique R_{th} :
\Phi_{\text{(W)}} = \dfrac{\Delta T_{\text{(K)}} }{R_{th\text{ (K.W}^{-1})} }
Une paroi de résistance thermique 1{,}00 \times 10^{-2} \text{ K.W}^{-1} sépare une habitation où la température est 20 °C de l'air extérieur à 5,0 °C. Le flux thermique traversant cette paroi est :
\Phi_{\text{(W)}} = \dfrac{\Delta T_{\text{(K)}} }{R_{th\text{ (K.W}^{-1})} }
\Phi=\dfrac{20-5{,}0}{1{,}00 \times 10^{-2}}
\Phi= 1{,}5 \times 10^3 \text{ W}
Expression de la résistance thermique d'une paroi
La résistance thermique R_{th} d'une paroi augmente avec son épaisseur e et diminue avec la sa surface S et la conductivité thermique du matériau qui la compose \lambda :
R_{th \text{ (K.W}^{-1})} = \dfrac{e_{\text{(m)}}} {\lambda_{\text{(W.m}^{-1}\text{.K}^{-1})} \times S_{\text{(m}^2)}}
La conductivité thermique du bois de pin est \lambda = 0{,}36 \text{ W.m}^{-1}\text{.K}^{-1}. La résistance thermique d'une porte en pin, de surface 1,8 m2 et d'épaisseur 6,0 cm est donc :
R_{th \text{ (K.W}^{-1})} = \dfrac{e_{\text{(m)}} } {\lambda_{\text{(W.m}^{-1}\text{.K}^{-1})} \times S_{\text{(m}^2)} }
R_{th } = \dfrac{6{,}0 \times 10^{-2} } {0{,}36 \times 1{,}8 }
R_{th} = 9{,}3 \times 10^{-2} \text{ K.W}^{-1}
Le bilan d'énergie d'un système thermodynamique
Système ouvert, fermé et isolé
En thermodynamique, on distingue trois types de systèmes :
| Type de système | Peut échanger de la matière | Peut échanger de la chaleur et du travail | Exemple |
| Système ouvert | Oui | Oui | Système contenu dans un réacteur (avec entrée des réactifs et sortie des produits) |
| Système fermé | Non | Oui | Système contenu dans un récipient fermé |
| Système isolé | Non | Non | Système contenu dans un calorimètre (ou un Thermos) |
Énergie interne
L'énergie interne, généralement notée U, est l'énergie qu'un système fermé possède et qui est différente de son énergie cinétique ou de n'importe quelle énergie potentielle.
Les différentes contributions microscopiques à l'énergie interne
L'énergie interne U d'un système est la somme des énergies dues aux mouvements et aux interactions au niveau microscopique des N particules composant le système macroscopique :
U = \sum_{i}^{N} \left( E_{p_i}^{\text{micro}} + E_{c_i}^{\text{micro}} \right)
Premier principe de la thermodynamique
Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie interne \Delta U est égale à la somme des énergies échangées par travail d'une force W et par transfert de chaleur échangée Q :
\Delta U_{\text{(J)}} = W_{\text{(J)}} + Q_{\text{(J)}}
L'énergie interne d'un système fermé qui n'échange pas d'énergie, ni sous forme de travail mécanique W ni sous forme de chaleur Q, est constante :
\Delta U_{\text{(J)}} = W_{\text{(J)}} + Q_{\text{(J)}}
Donc, si W = 0 \text{ J} et Q = 0 \text{ J}, la variation d'énergie interne du système est nulle :
\Delta U= 0 \text{ J}
La loi de refroidissement de Newton
Lorsque la température d'un système est supérieure à celle du milieu extérieur, et en l'absence d'autres échanges de chaleur, le système va se refroidir et sa température diminue de manière exponentielle.
Loi de refroidissement de Newton
La loi de refroidissement de Newton indique que la vitesse de refroidissement d'un corps est proportionnelle à la différence entre la température T de ce corps à l'instant t et la température extérieure T_{\text{ext}}, supposée constante (les températures devant être exprimées avec les mêmes unités) :
{\frac {dT(t)}{dt}}=-k_{\text{(s}^{-1})} \times(T-T_{\mathrm {ext} })
Où k est un coefficient de proportionnalité qui dépend notamment de la surface S de contact entre le corps et le milieu extérieur.
On peut en déduire la température à un instant t, après refroidissement du corps :
T(t)=T_{\mathrm {ext} }+(T(0)-T_{\mathrm {ext} })\times e^{-k_{\text{(s}^{-1})} \times t_{\text{(s)}}}
Soit un corps initialement à la température de 100 °C qui se refroidit dans l'air ambiant qui est à la température de 20 °C. Si dans cette situation la constante de proportionnalité est k = 2{,}6 \times 10^{-3} \text{ s}^{-1}, la température atteinte par le corps au bout de 10 minutes est :
T(t)=T_{\mathrm {ext} }+(T(0)-T_{\mathrm {ext} })\times e^{-k_{\text{(s}^{-1})} \times t_{\text{(s)}}}
T(10 \text{ min})=20+(100-20)\times e^{-2{,}6 \times 10^{-3} \times 10 \times 60}
T(10 \text{ min})=37 \text{ °C}
Le système Terre-atmosphère
Le rayonnement solaire reçu par la Terre
La puissance émise par le Soleil et atteignant la Terre est déterminée par le rayon terrestre et la distance Terre-Soleil.
La proportion de la puissance totale émise par le Soleil et atteignant la Terre est déterminée par le rayon de celle-ci et sa distance au Soleil. En tenant compte de ces paramètres, on peut montrer que la puissance surfacique du rayonnement solaire au niveau du sol terrestre est en moyenne de 341 \text{ W.m}^{-2}.
On exprime la puissance solaire par unité de surface P_{\text{surfacique}} sur une sphère de rayon D, sachant que :
- le Soleil émet sa puissance P_{\text{totale}} dans toutes les directions de l'espace ;
- à une distance D, cette puissance est uniformément répartie sur la sphère (fictive) de rayon D ;
- la surface de cette sphère est S_{\text{sphère}} = 4 \times \pi \times D^2 ;
- la puissance surfacique est égale au rapport de la puissance totale émise par le Soleil par la surface de cette sphère.
Puissance solaire atteignant la surface terrestre
L'expression de la puissance solaire par unité de surface au niveau de la Terre est donc :
P_{\text{solaire surfacique}} = \dfrac{P_{\text{totale}}}{S_{\text{sphère}} } = \dfrac{P_{\text{totale}} }{4 \times \pi \times D^2 }
Où P_{\text{totale}} désigne la puissance totale dégagée par le Soleil.
Ensuite, on exprime la puissance reçue par la Terre P_{\text{reçue}} sachant que :
- Le rayonnement solaire qui atteint la surface terrestre traverse un disque (fictif) de rayon égal au rayon de la terre R_T.
- La surface de ce disque est S_{\text{disque}} = \pi \times R_T^2.
- La puissance reçue est égale au produit de la puissance solaire surfacique et de la surface de ce disque.
La puissance solaire reçue est égale à la puissance reçue par un disque de rayon R_T
L'expression de la puissance reçue par la Terre est donc :
P_{\text{reçue}} = P_{\text{solaire surfacique}} \times S_{\text{disque}} = P_{\text{solaire surfacique}} \times \pi \times R_T^2
D'où :
P_{\text{reçue}} = \dfrac{P_{\text{totale}} }{4 \times D^2 } \times R_T^2
Ce qui peut aussi s'écrire :
P_{\text{reçue}} = \dfrac{ R_T^2 }{4 \times D^2 } \times P_{\text{totale}}
On effectue l'application numérique, sachant que :
- le rayon de la Terre est R_T = \text{6 370 km} = \text{6 370} \times 10^3 \text{ m} ;
- la distance moyenne Soleil-Terre est D = 150 \text{ millions de km} = 150 \times 10^9 \text{ m} ;
- la puissance totale émise par le soleil est P_{totale} = 3{,}86 \times 10^{26} \text{ W}.
Soit :
P_{\text{reçue}} = \dfrac{(\text{6 370} \times 10^3)^2 }{4 \times (150 \times 10^9)^2 } \times 3{,}86 \times 10^{26}
P_{\text{reçue}} = 1{,}74 \times 10^{17} \text{ W}
Cette puissance reçue par la Terre se répartit sur l'ensemble de sa surface qui est donnée par la relation :
S = 4 \times \pi \times R_T^2
La puissance surfacique moyenne atteignant le sol terrestre est donc :
P_{\text{surfacique}} = \dfrac{P_{\text{reçue}}}{S}
P_{\text{surfacique}} = \dfrac{P_{\text{reçue}}}{4 \times \pi \times R_T^2}
P_{\text{surfacique}} = \dfrac{1{,}74 \times 10^{17}}{4 \times \pi \times (6\ 370 \times 10^3)^2}
P_{\text{surfacique}} = 341 \text{ W} \cdot \text {m}^{-2}
Albédo
L'albédo A est le rapport de la puissance de rayonnement réfléchie P_\text{réfléchie} par une surface par la puissance de rayonnement reçue P_\text{reçue} :
A = \dfrac{ P_{\text{réfléchie(W)}} }{ P_{\text{reçue(W)}} }
L'albédo est un nombre sans unité, compris entre 0 et 1, qui peut être exprimé en pourcentage.
| Nature du sol | Albédo |
| Neige fraîche | 0,87 |
| Glace | 0,4 |
| Sol cultivé avec végétation | 0,2 |
| Surface de l'océan | 0,1 |
| Forêt dense | 0,1 |
Puissance solaire reçue par le sol compte tenu de l'albédo
La puissance solaire reçue par le sol compte tenu de l'albédo A est donnée par la relation :
P_{\text{sol}} = P_{\text{reçue}} – P_{\text{réfléchie}}
Avec :
P_{\text{réfléchie}} = A \times P_{\text{reçue}}
Soit :
P_{\text{sol}} = P_{\text{reçue}} – A \times P_{\text{reçue}}
P_{\text{sol}} = (1 - A) \times P_{\text{reçue}}
En moyenne, la puissance solaire atteignant le sol, compte tenu de l'albédo, est :
P_{\text{sol}} = (1 - A) \times P_{\text{reçue}}
P_{\text{sol}} = (1 - 0{,}30) \times 1{,}74 \times 10^{17}
P_{\text{sol}} = 1{,}22 \times 10^{17} \text{ W}
L'effet de serre et la température terrestre moyenne
Effet de serre
L'effet de serre est un phénomène naturel de réchauffement de la surface terrestre. Des gaz à effet de serre (dioxyde de carbone, méthane, vapeur d'eau, etc.) se trouvent dans l'atmosphère et capturent les rayons infrarouges : le sol terrestre et l'atmosphère échangent continuellement de l'énergie sous forme de rayonnement infrarouge.
Sans l'effet de serre, la température moyenne à la surface de la Terre serait de –18 °C au lieu des +15 °C actuels. La température moyenne du sol est constante, car la puissance totale qu'il reçoit, provenant du Soleil et de l'atmosphère, est égale à la puissance moyenne qu'il émet. On parle alors d'équilibre dynamique.
La Terre reçoit sensiblement autant d'énergie qu'elle en perd, le bilan est équilibré, et la température sur Terre est théoriquement stable. Cependant, l'intensification de l'effet de serre due aux activités humaines entraîne un déplacement de cet équilibre et une augmentation de cette température moyenne.
Loi de Stefan-Boltzmann
La loi de Stefan-Boltzmann relie le flux thermique \Phi émis par un corps noir en fonction de sa température T :
\Phi_{\text{(W.m}^{-2})} = \sigma_{\text{(J.K}^{-4}\text{m}^{-2}\text{.s}^{-1})} \times T_{\text{(K})}^4 \Leftrightarrow T_{\text{(K})} = \sqrt[4]{\dfrac{\Phi_{\text{(W.m}^{-2})}}{\sigma_{\text{(J.K}^{-4}\text{m}^{-2}\text{.s}^{-1})}}}
Où \sigma = 5{,}67 \times 10^{-8}{\text{ J.K}^{-4}\text{m}^{-2}\text{.s}^{-1}} est la constante de Stefan-Boltzmann.
Sachant que le flux thermique émis par le sol terrestre est \Phi = 341 \text{ W.m}^{-2}, la loi de Stefan-Boltzmann permet d'estimer sa température moyenne :
T_{\text{(K})} = \sqrt[4]{\dfrac{\Phi_{\text{(W.m}^{-2})}}{\sigma_{\text{(J.K}^{-4}\text{m}^{-2}\text{.s}^{-1})}}}
T = \sqrt[4]{\dfrac{341}{5{,}67 \times 10^{-8}}}
T = 278 \text{ K}
Soit, en degrés Celsius :
T = 278 -273{,}15 = 5 \text{ °C}