Le modèle de la lentille mince convergente et la relation de conjugaison
Le modèle de la lentille mince convergente est défini par des points caractéristiques et sa distance focale. Ces éléments permettent d'établir la relation de conjugaison d'une lentille mince convergente.
Les points caractéristiques d'une lentille mince convergente
Le comportement d'une lentille mince convergente est caractérisé par trois points caractéristiques : son centre optique O, son foyer objet F, son foyer image F'.
Les rayons lumineux passant par les points caractéristiques d'une lentille convergente ont un tracé connu :
On appelle :
- Milieu objet et milieu image les régions respectivement avant la lentille (qui contient le foyer objet F) et après la lentille (qui contient le foyer image F').
- Plan focal objet et plan focal image les plans perpendiculaires à l'axe optique passant respectivement par les foyers objet F et image F'.
La distance focale d'une lentille mince convergente
Une lentille mince est caractérisée par sa distance focale qui est la distance entre le centre optique et le foyer image
Distance focale
La distance focale f' d'une lentille est la mesure algébrique de la distance (en mètres) séparant son centre optique O et son foyer image F' :
f'_{\left(\text{m}\right)} = \overline{OF'}_{\left(\text{m}\right)}
Prenons une lentille convergente. Le foyer image de la lentille se situe après son centre optique dans le sens de propagation de la lumière. Par conséquent, la distance algébrique \overline{OF'} est positive.
Si le centre optique O et le foyer image F' d'une lentille sont distants de 15 cm, sa distance focale est alors :
f' = \overline{OF'} = 0{,}15\text{ m}
La distance focale d'une lentille convergente est positive.
Le foyer image d'une lentille divergente est placé avant son centre optique dans le sens de propagation de la lumière, la distance focale d'une lentille divergente f' = \overline{OF'} est négative.
La relation de conjugaison d'une lentille mince convergente
La relation de conjugaison permet de déterminer la position de l'image à partir de la distance focale de la lentille et de la position de l'objet.
La relation de conjugaison lie les positions de l'objet \overline{OA}, de l'image \overline{OA'} et la distance focale f' de la lentille :
\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{f'_{\left(\text{m}\right)}}
Soit un objet placé à 3 m d'une lentille mince convergente. L'image de l'objet se forme 1,2 m après le centre optique de la lentille.
D'après le premier membre de la relation, on obtient :
\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{1{,}2} - \dfrac{1}{-3}
\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{3}{3\times 1{,}2} + \dfrac{1{,}2}{3\times 1{,}2}
\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{4{,}2}{3{,}6}
Or :
\dfrac{1}{\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)}} - \dfrac{1}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}}= \dfrac{1}{f'}
Donc :
f' = \dfrac{3{,}6}{4{,}2}
La distance focale de la lentille mince convergente est donc de 86 cm.
L'expression littérale donnant la position de l'image à partir de celle de l'objet et de la distance focale de la lentille est alors :
\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)} = \dfrac{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}\times f'_{\left(\text{m}\right)}}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}+ f'_{\left(\text{m}\right)}}
Soit un objet placé à 3 m d'une lentille de distance focale f'=0{,}86. La distance de l'image au centre optique de la lentille est :
\overline{OA'}_{\left(\text{m}\right)} = \dfrac{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}\times f'_{\left(\text{m}\right)}}{\overline{OA}_{\left(\text{m}\right)}+ f'_{\left(\text{m}\right)}}
\overline{OA'} = \dfrac{-3\times 0{,}86}{-3+ 0{,}86}
\overline{OA'} = 1{,}2\text{ m}
Il n'est pas obligatoire de convertir les distances, du moment qu'elles sont exprimées dans le même multiple ou sous-multiple du mètre.
Dans cette situation, on peut mesurer :
- la position de l'objet : \overline{OA} = –6{,}0\text{ cm} ;
- la distance focale de la lentille : f' = 4{,}0\text{ cm}.
La relation de conjugaison permet bien de retrouver la position de l'image.
Puisque :
\dfrac{1}{\overline{OA'}} – \dfrac{1}{\overline{OA}}= \dfrac{1}{f'}
On a :
\overline{OA'} = \dfrac{\overline{OA} \times f'}{\overline{OA}+ f'}
Soit :
\overline{OA'} = \dfrac{\overline{–6{,}0} \times 4{,}0}{\overline{–6{,}0}+ 4{,}0}
\overline{OA'} = 12{,}0\text{ cm}
La détermination des caractéristiques de l'image formée par une lentille mince convergente
Les caractéristiques de l'image formée par une lentille mince convergente dépendent de la position de l'objet par rapport au foyer ou de la relation de grandissement. Ces éléments permettent de déterminer la taille et la position de l'image.
Les caractéristiques de l'image
L'image d'un objet par une lentille mince convergente peut être réelle ou virtuelle, agrandie ou diminuée, droite ou renversée.
Image réelle
Une image réelle est une image qui peut se former sur un écran.
L'image obtenue avec un vidéoprojecteur est une image réelle.
Image virtuelle
Une image virtuelle est une image qui ne peut pas se former sur un écran mais qui est visible à l'œil nu.
L'image obtenue avec une loupe est une image virtuelle.
Les caractéristiques de l'image formée par une lentille sont :
- sa position, indiquée par la distance \overline{OA'} ;
- sa nature : réelle si \overline{OA'} \gt 0, virtuelle si \overline{OA'} \lt 0 ;
- sa taille, indiquée par la distance \overline{A'B'} : l'image est agrandie si \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right| et réduite si |\overline{A'B'} | \lt | \overline{AB}| ;
- son sens : l'image est droite si \overline {A'B'} est de même signe que \overline{AB} et renversée sinon.
Les longueurs de ces différentes mesures algébriques sont généralement déterminées à partir d'une échelle indiquée sur le schéma.
À l'aide des rayons lumineux passant par les points caractéristiques, on obtient :
Dans cette situation :
- la position de l'image est indiquée par la distance \overline{OA'} = 12{,}0\text{ cm} ;
- l'image est réelle, puisque \overline{OA'} \gt 0 ;
- la taille de l'image est \overline{A'B'} = –3{,}0\text{ cm} et elle est agrandie, puisque celle de l'objet est \overline{AB} = 1{,}5 \text{ cm} ;
- l'image est renversée, puisque sa taille \overline {A'B'} est négative alors que celle de l'objet \overline{AB} est positive.
La détermination géométrique de la position et de la taille de l'image
La détermination géométrique de la position et de la taille de l'image dépend de la position de l'objet par rapport au foyer objet.
Le cas d'un objet placé devant le foyer objet de la lentille
Lorsque l'objet est placé avant le foyer objet de la lentille, l'image formée par la lentille est réelle, agrandie et renversée.
Lorsque l'objet AB est placé au-delà du foyer objet F de la lentille mince convergente, les rayons lumineux qui émergent de celle-ci se coupent dans le milieu image (après la lentille), de sorte que la position de l'image \overline{OA'} est positive. Alors, l'image A'B' obtenue est réelle.
D'après la construction ci-dessus, l'image A'B' est alors :
- réelle, car \overline{OA'} \gt 0 ;
- agrandie, car \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right| ;
- renversée, car \overline{A'B'} \lt 0 alors que \overline{AB} \gt 0.
Le cas d'un objet placé entre le foyer objet et le centre optique de la lentille
Lorsque l'objet est placé entre le foyer objet et le centre optique de la lentille, l'image formée par la lentille est virtuelle, agrandie et droite.
Lorsque l'objet est placé entre le foyer objet F et le centre optique O de la lentille, l'image formée par la lentille est virtuelle.
Lorsque l'objet AB est placé entre le foyer objet F et le centre optique de la lentille mince convergente, les rayons lumineux qui émergent de celle-ci ne se coupent pas dans le milieu image (après la lentille) mais dans le milieu objet (avant la lentille), de sorte que la position de l'image \overline{OA'} est négative.
On dit alors que l'image A'B' obtenue est virtuelle.
D'après la construction ci-dessus, l'image A'B' est alors :
- virtuelle, car \overline{OA'} \lt 0 ;
- agrandie, car \left| \overline{A'B'} \right| \gt \left| \overline{AB} \right| ;
- droite, car \overline{A'B'} \gt 0 alors que \overline{AB} \gt 0.
Si l'objet AB est placé sur le foyer objet F, les rayons lumineux sont parallèles et ne se coupent donc ni dans le milieu objet ni dans le milieu image : on dit que l'image est rejetée à l'infini dans l'espace objet, sa vision à l'œil nu se fait sans fatigue.
La détermination de la taille de l'image à l'aide du grandissement
Le grandissement relie les tailles de l'objet et de l'image. Il relie également la distance de l'image et celle de l'objet par rapport au centre optique de la lentille.
Le grandissement
Le grandissement est le rapport entre la taille de l'image et la taille de l'objet.
Grandissement
Le grandissement \gamma est égal au rapport des tailles algébriques de l'image et de l'objet :
\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}_{(\text{m})}}{\overline{{AB}_{(\text{m})}}}
Il n'est pas obligatoire de convertir les distances, du moment qu'elles sont exprimées dans le même multiple ou sous-multiple du mètre.
Dans cette situation, le grandissement est :
\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{{AB}}}
\gamma = \dfrac{3{,}0}{1{,}0}
\gamma = 3{,}0
Le grandissement renseigne aussi sur les caractéristiques de l'image :
- Si \gamma \gt 0, l'image est dans le même sens que l'objet et si \gamma \lt 0, l'image est renversée.
- Si |\gamma | \gt 1, l'image est agrandie et si |\gamma | \lt 1, l'image est réduite.
Dans cette situation :
- \gamma \gt 0 : l'image est droite.
- | \gamma | \gt 1 : l'image est agrandie.
La détermination de la taille de l'image
Le grandissement permet de déterminer la taille de l'image à partir de sa position et de la position de l'objet, car il est également le rapport entre la distance de l'image et celle de l'objet par rapport au centre optique.
D'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AB}{OA} = \dfrac{A'B'}{OA'}
D'où :
\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{OA'}{OA}
Le grandissement permet de déterminer la taille et la position de l'image à partir de celle de l'objet :
\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}
Et puisqu'il est égal au rapport de la position \overline{OA'} de l'image par celle de l'objet \overline{OA}, il relie aussi ces grandeurs à la taille de l'image \overline{A'B'} et permet donc de la calculer :
\overline{A'B'} = \dfrac{OA'}{\overline{{OA}} } \times \overline{AB}
Dans cette situation, la taille de l'image est bien donnée par cette relation :
\overline{A'B'} = \dfrac{\overline{{OA'}}}{\overline{{OA}}} \times \overline{AB}
\overline{A'B'} =\dfrac{-12{,}0}{-4{,}0} \times 1{,}0
\overline{A'B'} = 3{,}0\text{ cm}