Sommaire
IMatrices et opérationsAVocabulaire et définitionsBSomme et produit par un réelCProduit de deux matrices carréesIIInverse d'une matrice carréeIIIPuissance d'une matrice carréeIVMatrices diagonalisablesVSuites et matricesMatrices et opérations
Vocabulaire et définitions
Matrice
Une matrice de taille \left(m,n\right) est un tableau de réels composé de m lignes et n colonnes pour m et n deux entiers naturels.
Matrice carrée
Une matrice carrée est une matrice possédant autant de lignes que de colonnes.
Matrice ligne
Une matrice ligne est une matrice formée d'une seule ligne.
Matrice colonne
Une matrice colonne est une matrice formée d'une seule colonne.
Matrice diagonale
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale sont nuls.
On note diag\left(a_1;a_2;\dots;a_n\right) la matrice diagonale dont les éléments de la diagonales sont a_1, a_2, \dots, a_n.
Matrice nulle
Une matrice nulle est une matrice dont tous les coefficients sont nuls. Si de plus celle-ci est une matrice carrée d'ordre n elle est notée 0_n.
Matrice identité
Une matrice identité est une matrice diagonale formée d'une diagonale de 1.
Deux matrices sont égales si et seulement si elles sont de même taille et leurs coefficients de même position sont égaux.
Somme et produit par un réel
Somme de deux matrices
Pour additionner deux matrices de même taille, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.
Multiplication d'une matrice par un réel
Pour multiplier une matrice par un réel, on multiplie chaque coefficient de la matrice par ce réel.
Produit de deux matrices carrées
Le produit de deux matrices n'existe que si le nombre de colonnes de la première est égal au nombre de lignes de la seconde.
Produit de deux matrices
Le terme de position \left(i,j\right) de la matrice produit AB est égal au produit de la i -e ligne de A par la j -e colonne de B.
Soit un entier naturel non nul.
Considérons les matrices carrées A, B et C de même ordre n.
\left(A+B\right)\times C=A\times C + B \times C
A\times \left(B+C\right)=A\times B + A\times C
A\times \left(B\times C\right)=\left(A\times B \right)\times C
Pour tout réel k : k\times \left(A\times B\right)=\left(k\times A \right)\times B=A\times \left(k\times B\right)
A\times I_n=I_n\times A=A, où I_n est la matrice identité d'ordre n
En général : A\times B \neq B\times A.
Inverse d'une matrice carrée
Matrice inverse
Une matrice carrée A d'ordre n est inversible si et seulement s'il existe une matrice B telle que AB=BA=I_n. On note cet unique inverse A^{-1}.
Soit n un entier naturel non nul.
Pour toutes matrices A et B carrées d'ordre n :
- si A est inversible, alors A^{-1} l'est également et \left(A^{-1}\right)^{-1}=A.
- si A et B sont inversibles, alors la matrice A\times B l'est également et \left(A\times B\right)^{-1}=B^{-1}\times A^{-1}.
Écriture matricielle d'un système d'équations
La forme matricielle du système \begin{cases}ax + by = s \cr cx + dy = t\end{cases} est \begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}.
Si \begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix} est inversible, alors la matrice colonne des solutions est : \begin{pmatrix}x \cr y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b \cr c & d\end{pmatrix}^{-1}\times\begin{pmatrix}s \cr t\end{pmatrix}.
Puissance d'une matrice carrée
Puissance d'une matrice carrée
Soit un entier naturel n non nul et une matrice carrée A.
A^n=A\times A\times A\times \cdot\cdot\cdot \times A
Pour tout entier naturel n et m et toute matrice carrée A :
A^m \times A^n=A^{m+n}
Soit A une matrice diagonale diag\left(a_1;a_2;\dots;a_n\right) et m un entier naturel.
Alors, A^m=diag\left(a_1^m;a_2^m;\dots;a_n^m\right).
Matrices diagonalisables
Matrice diagonalisable
Une matrice carrée A est dite diagonalisable s'il existe une matrice carrée inversible P et une matrice diagonale D telles que P^{-1}AP=D.
Si A est une matrice diagonalisable telle que P^{-1}AP=D où P est une matrice inversible et D une matrice diagonale, alors pour tout entier naturel n, on a :
A^n=PD^nP^{-1}
Suites et matrices
Convergence d'une suite de matrices colonnes
Une suite de matrices colonnes \left(U_n\right) où U_n=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} est dite convergente si les deux suites \left(a_n\right) et \left(b_n\right) convergent.
Soit \left(U_n\right) une suite de matrices colonnes de taille m\geq 2 définie pour tout entier naturel n par U_{n+1}=AU_n où A est une matrice carrée d'ordre k.
Alors, pour tout entier naturel n, U_n=A^n\times U_0.
Soit \left(U_n\right) une suite de matrices colonnes de taille m définie, pour tout entier naturel n, par U_{n+1}=AU_n+B.
Si une matrice C vérifie C=AC+B, alors la suite \left(V_n\right), définie pour tout entier naturel n par V_n=U_n-C, vérifie :
pour tout entier naturel n, V_{n+1}=AV_n, donc V_n=A^n\times V_0
Marche aléatoire
Lorsqu'un système n'ayant que deux états possibles évolue par étapes successives aléatoires et indépendantes, on dit que le système suit une marche aléatoire.
Matrice de transition
Soit une marche aléatoire sur un système ne comptant que deux états possibles, notés 1 et 2.
On note M_n la matrice colonne \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix} où a_n (resp. b_n ) est la probabilité, à l'étape n, que le système soit dans l'état 1.
Soit p la probabilité de passer de l'état 1 à l'état 2 et q la probabilité de passer de l'état 2 à l'état 1.
Alors, la matrice T=\begin{pmatrix}1-p&q\\p&1-q\end{pmatrix} est appelée matrice de transition.
Matrice des états
La matrice M_n s'appelle matrice des états à l'étape n.
Avec les notations de la définition précédente, on a, pour tout entier naturel n :
- a_n+b_n=1
- M_{n+1}=T\times M_n
- M_n=T^n\times M_0
État stable
Un état stable est une matrice des états M vérifiant T\times M=M.
Avec les notations précédentes, si la matrice de transition ne contient pas de 0, alors :
- Il existe une unique état stable M.
- La suite \left(M_n\right) des états converge vers l'état stable.
On étudie l'évolution d'une maladie sur une population stable. Chaque individu de cette population est soit malade, soit sain.
On suppose que pour chaque individu, d'une semaine sur l'autre :
- s'il était malade, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de \dfrac14.
- sil était sain, il le reste la semaine suivante avec une probabilité de \dfrac23.
Au début de l'étude, 5% de la population est malade.
Pour tout entier n\geq0, on note a_n la probabilité qu'un individu choisi au hasard soit malade, et b_n celle qu'il soit sain, au bout de n semaines.
M_n est la matrice colonne des probabilités : M_n=\begin{pmatrix} a_n \cr\cr b_n \end{pmatrix}. Ainsi, M_0=\begin{pmatrix} 0{,}05 \cr\cr 0{,}95 \end{pmatrix}
Pour tout entier naturel n, on a :
M_{n+1}=T \times M_n avec T=\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac13 \cr\cr \dfrac34 & \dfrac 23 \end{pmatrix}
La matrice de transition est donc : T=\begin{pmatrix} \dfrac14 & \dfrac13 \cr\cr \dfrac34 & \dfrac 23 \end{pmatrix}
On peut démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout n\geq 0, M_n=T^n\times M_0 avec T^n=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{9}{13} & \dfrac{4}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{-4}{13} \cr\cr \dfrac{9}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{-9}{13} & \dfrac{9}{13}+\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n\times\dfrac{4}{13} \end{pmatrix}.
On peut alors en déduire que, pour tout entier n\geq 0 : M_n=\begin{pmatrix} \dfrac{4}{13}-\dfrac{67}{260}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n \cr\cr \dfrac{9}{13}-\dfrac{67}{260}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n \end{pmatrix}.
Comme -1\lt \dfrac{-1}{12} \lt 1, on a \lim\limits_{x \to +\infty}\left( \dfrac{-1}{12} \right)^n=0. Par conséquent, la suite \left( M_n \right) converge vers la matrice colonne M=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{13} \cr\cr \dfrac{9}{13} \end{pmatrix}.
On peut vérifier que M est bien un état stable du système (en fait, le seul état stable du système).
Au bout d'un grand nombre de semaines, la probabilité que l'individu soit malade tendra vers \dfrac{4}{13}, alors que celle qu'il soit sain vers \dfrac{9}{13}.