Dérivation
Dérivées des fonctions usuelles
Soient un réel \lambda et un entier naturel n ; on désigne par D_{f} le domaine de définition de f et par D_{f'} son domaine de dérivabilité.
| f\left(x\right) | f'\left(x\right) | D_{f} | D_{f'} |
|---|---|---|---|
| \lambda | 0 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x | 1 | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| x^{n} \left(n \geq 1\right) | nx^{n-1} | \mathbb{R} | \mathbb{R} |
| \dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right) | -\dfrac{n}{x^{n+1}} | \mathbb{R}^{*} | \mathbb{R}^{*} |
| \sqrt{x} | \dfrac{1}{2\sqrt{x}} | \mathbb{R}^{+} | \mathbb{R}^{+{\textcolor{Red}*}} |
Dérivées et opérations
Soit un réel \lambda, on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
| f | f' |
|---|---|
| \lambda u | \lambda u' |
| u + v | u' + v' |
| uv | u'v + uv' |
| \dfrac{1}{u} (si u ne s'annule pas sur I) | -\dfrac{u'}{u^2} |
| \dfrac{u}{v} (si v ne s'annule pas sur I) | \dfrac{u'v–uv'}{v^2} |
| u^{n} \left(n \geq 1\right) | nu'u^{n-1} |
| \sqrt{u} (si u\left(x\right) {\textcolor{Red}\gt} 0 sur l'intervalle I) | \dfrac{u'}{2\sqrt{u}} |
Continuité
Fonction continue
Une fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement s'il est possible de tracer sa courbe représentative sur I sans lever le crayon.
Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. Attention, la réciproque est fausse.
Théorème des valeurs intermédiaires
Soient f une fonction continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de cet intervalle.
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.
Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires
- Si f est continue sur \left[a ; b\right] et si f\left(a\right) et f\left(b\right) sont de signes opposés, alors f s'annule au moins une fois entre a et b.
- Si f est continue et strictement monotone sur \left[a ; b\right], alors pour tout réel k compris entre f\left(a\right) et f\left(b\right), il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f\left(c\right) = k.
Convexité
Fonction convexe
Une fonction f est dite convexe sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
Fonction concave
Une fonction f est dite concave sur I lorsque sa courbe est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.
Fonction convexe et dérivées
La fonction f est convexe sur I si et seulement si la dérivée f' est croissante sur I, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est positive sur I.
Fonction concave et dérivées
La fonction f est concave sur I si et seulement si la dérivée f' est décroissante sur I, c'est-à-dire si sa dérivée seconde f'' est négative sur I.
Point d'inflexion
Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique d'une fonction traverse sa tangente en ce point, c'est-à-dire là où la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.
Fonction exponentielle
La fonction exponentielle
La fonction exponentielle est la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=e^x.
Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
Soient deux réels x et y, et un entier n.
- e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y
- e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y
- e^{x+y} = e^{x} e^{y}
- e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}
- e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}
- \left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}
Dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| e^x | e^x |
| e^{u} | u'e^{u} |
Fonction logarithme népérien
Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, définie sur \mathbb{R}^{+*} est f\left(x\right)=\ln\left(x\right).
- Pour tout réel x : \ln\left(e^{x}\right) = x.
- Pour tout réel x strictement positif : e^{\ln\left(x\right)} = x.
Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier relatif n :
- \ln\left(xy\right) = \ln\left(x\right) + \ln\left(y\right)
- \ln \left(\dfrac{1}{x}\right)= - \ln\left(x\right)
- \ln \left(\dfrac{x}{y}\right)= \ln\left(x\right) - \ln\left(y\right)
- \ln\left(x^{n}\right) = n \ln\left(x\right)
- \ln\left(\sqrt{x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(x\right)
Dérivées
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \ln\left(x\right) | \dfrac1x |
| \ln\left(u\right) | \dfrac{u'}{u} |
Primitives
Primitives des fonctions usuelles
Soient un entier n, k un réel ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f\left(x\right) | F\left(x\right) | I |
|---|---|---|
| k | kx | \mathbb{R} |
| x^{n} | \dfrac{x^{n+1}}{n+1} | si n \geq 1 \text{ }:\text{ } \mathbb{R} si n \leq - 2\text{ } : \text{ }\left]- \infty ; 0\right[\text{U}\left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{\sqrt{x}} | 2\sqrt{x} | \left]0 ; + \infty \right[ |
| \dfrac{1}{x} | \ln\left(x\right) | \left]0 ; + \infty \right[ |
| e^{x} | e^{x} | \mathbb{R} |
Opérations et primitives
Soit un entier n différent de 0 et -1. On désigne par u et v deux fonctions dérivables sur l'intervalle I ; la fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I.
| f | F | Conditions |
|---|---|---|
| u'u^{n} | \dfrac{u^{n+1}}{n + 1} | si n \leq- 2 \text{ }:\text{ } u\left(x\right) \neq 0 sur I |
| \dfrac{u'}{u} | \ln\left(u\right) | u \gt 0 |
| \dfrac{u'}{\sqrt{u}} | 2\sqrt{u} | u \gt 0 |
| u'e^{u} | e^{u} |
Intégrales
Aires et intégrales
Intégrale d'une fonction continue positive
Soient f une fonction continue et positive sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Intégrale d'une fonction continue négative
Soient f une fonction continue et négative sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe C, l'axe des abscisses, et les droites d'équation x = a et x = b.
Intégrale d'une fonction continue
Soient f une fonction continue sur un intervalle \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx de la fonction f sur \left[a ; b\right] est égale à la différence entre la somme des aires où f est positive et la somme des aires où f est négative.
Propriétés de l'intégrale
Valeur moyenne d'une fonction
On appelle valeur moyenne de f sur \left[a ; b\right] \left(a \lt b\right) le réel :
\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a, b et c trois réels de I, et k un réel quelconque.
- \int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0
- \int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- \int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Relation de Chasles : \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx
- Linéarité : \int_{a}^{b} \left(f\left(x\right) + g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx
Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que a \leq b, m et M deux réels tels que m \leq f \leq M sur \left[a ; b\right].
- Positivité : si f \geq 0 sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0.
- Comparaison : si f \leq g sur \left[a ; b\right], alors \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx .
- Inégalité de la moyenne : m \left(b - a\right) \leq \int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq M \left(b - a\right).
Intégrale et primitives
Intégrale et primitives
Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :
\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)