Les propriétés de construction d'un triangle
L'inégalité triangulaire
Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors d'après l'inégalité triangulaire :
AC \lt AB + BC
- AB + BC = 4 + 5{,}5 = 9{,}5 cm
- AC = 7 cm
On a bien :
AC \lt AB + BC
L'inégalité triangulaire traduit le fait que le plus court chemin entre les points A et C est le segment \left[ AC \right]. En passant par un troisième point B, on rallonge obligatoirement le chemin : la somme des distances de A à B et de B à C est ainsi plus grande que la distance de A à C.
Si les points A, B et C sont alignés, on a :
AC=AB+BC
Réciproquement, si AC=AB+BC, alors les trois points A, B et C sont alignés.
Sur la figure précédente, les points A, B et C sont alignés. On a bien :
- AB+BC = 7+2=9
- AC=9
Ainsi :
AB+BC=AC
La somme des angles d'un triangle
La somme des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans ce triangle, \textcolor{Blue}{\widehat{ABC}} + \textcolor{Green}{\widehat{BAC}} + \textcolor{Red}{\widehat{ACB}} = 180^\circ.
On connaît les angles \widehat{BAC} et \widehat{ACB} donc on peut en déduire la mesure de l'angle \widehat{ABC}.
\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ACB}=180-30-40=110°
Propriétés des angles des triangles usuels
Propriétés des angles des triangles isocèles
Sommet principal et base
Dans un triangle isocèle, le sommet joignant les côtés de même longueur est le sommet principal. Le côté opposé à ce sommet est la base.
Dans un triangle isocèle les angles à la base sont de même mesure.
Réciproquement, si dans un triangle, deux angles sont de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Propriétés des angles des triangles équilatéraux
Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
Réciproquement, si dans un triangle les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral.
Les droites remarquables d'un triangle
Les médiatrices
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Le point C appartient à la médiatrice (d) du segment [AB]. Donc CA = CB.
Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un même point.
Les hauteurs
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Dans le triangle ABC, la droite (BH) est la hauteur issue de B et H est le pied de la hauteur.
Les médianes
Médiane d'un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Utilisations des droites remarquables
Le cercle circonscrit à un triangle
Cercle circonscrit à un triangle
Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets de ce triangle. Son centre est le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle.
L'aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la longueur d'une hauteur multipliée par celle du côté opposé, le tout divisé par 2 :
\mathcal{A} = \dfrac{\text{hauteur} \times \text{côté}}{2}
L'aire de ce triangle est égale à :
A=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12 cm2.
L'aire d'un triangle est égale à la moitié de celle du parallélogramme associé.
