Le théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore
D'après le théorème de Pythagore, si ABC est un triangle rectangle en C :
AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}
Dans le triangle ABC rectangle en C :
AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2
On en déduit que AB = 10 cm.
Réciproque du théorème de Pythagore
Si dans un triangle ABC, l'égalité BC^2=AB^2+AC^2 est vérifiée (avec [BC] le plus grand côté), alors le triangle ABC est rectangle en A et [BC] est l'hypoténuse.
D'une part, BC^2=5^2=25.
D'autre part AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25.
Par conséquent, BC^2=AB^2+AC^2.
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, on peut affirmer que le triangle ABC est rectangle en A.
La propriété réciproque est la propriété de caractérisation d'un triangle rectangle car elle permet de prouver la présence d'un angle droit dans un triangle.
Pour déterminer la longueur manquante après avoir utilisé le théorème de Pythagore, on calcule donc la racine carrée de la valeur obtenue :
BC=\sqrt{BC^2}
Racine carrée
La racine carrée \sqrt{a} du nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a :
\left( \sqrt{a} \right)^2 = a
Le cercle circonscrit au triangle rectangle
Propriété de caractérisation d'un cercle
Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M du plan tels que AMB est rectangle en M.
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors la longueur de sa médiane issue du sommet A est égale à la moitié de son hypoténuse.
Réciproquement, si la médiane issue du sommet A du triangle ABC est égale à la moitié de la longueur du côté opposé, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Le cosinus d'un angle aigu
Cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu \alpha, noté \cos\left(\alpha\right), est égal à :
\cos\left(\alpha\right) =\dfrac{\textcolor{Blue}{\text{côté adjacent}}}{\textcolor{Red}{\text{hypoténuse}}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
\cos\left( \widehat{ABC} \right) = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}
\cos\left( \widehat{ACB} \right) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}
Si l'on connaît le cosinus d'un angle aigu, on peut retrouver la mesure de l'angle à l'aide de la touche "Arccos" ou "cos-1" de la calculatrice. Il faut bien vérifier au préalable que la calculatrice est paramétrée en degrés.
Si \cos\left(\widehat{A}\right)=0{,}256 alors \widehat{A}=arcos\left(0{,}256\right)\approx75°.
Le cosinus est toujours un nombre plus petit que 1.
arccos\left(5\right) n'existe pas.