Les propriétés du triangle
Dans un triangle, la propriété de l'inégalité triangulaire démontre que le plus court chemin pour relier deux sommets du triangle est le segment reliant ces deux points. Par ailleurs, dans un triangle, la somme des trois angles est égale à 180°.
L'inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur du plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. Cette propriété, appelée « l'inégalité triangulaire », permet de savoir si la construction d'un triangle est possible.
Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors :
AC \lt AB + BC
- AB + BC = 4 + 5{,}5 = 9{,}5\text{ cm}
- AC = 7\text{ cm}
On a bien :
AC \lt AB + BC
L'inégalité triangulaire traduit le fait que le plus court chemin entre les points A et C est le segment \left[ AC \right].
En passant par un troisième point B, on rallonge obligatoirement le chemin : la somme des distances de A à B et de B à C est ainsi plus grande que la distance de A à C.
Si les points A, B et C sont alignés dans cet ordre, on a AC=AB+BC.
Réciproquement, si AC=AB+BC, alors les trois points A, B et C sont alignés.
Sur la figure précédente, les points A, B et C sont alignés. On a bien :
- AB+BC = 7+2=9
- AC=9
Ainsi :
AB+BC=AC
La somme des mesures des angles d'un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans le triangle ci-dessous, \textcolor{Blue}{\widehat{ABC}} + \textcolor{Green}{\widehat{BAC}} + \textcolor{Red}{\widehat{ACB}} = 180^\circ.
Si l'on connaît la mesure de deux angles d'un triangle, on peut donc en déduire la mesure du troisième angle.
\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}=180°
On connaît les angles \widehat{BAC} et \widehat{ACB} donc on peut en déduire la mesure de l'angle \widehat{ABC} :
\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ACB}=180°-30°-40°=110°
La construction d'un triangle de mesures données
On peut construire un triangle de différentes façons. Parfois, on connaît les longueurs de ses trois côtés. Autrement, cela peut se faire à partir de la mesure d'une longueur et de deux angles, ou bien à partir d'un angle et de deux longueurs proposées.
On considère trois longueurs a, b et c.
Si la plus grande longueur est strictement inférieure à la somme des deux autres, alors on peut tracer un triangle dont les longueurs des côtés sont a, b et c.
On considère les trois longueurs 3, 4 et 5.
La plus grande longueur est 5 et 5<3+4 car 5<7.
On peut donc construire un triangle ayant pour longueur de côtés 3, 4 et 5.
Connaissant deux longueurs a et b et la mesure x d'un angle comprise entre 0° et 180° (exclus), on peut construire un triangle ayant deux côtés de longueurs a et b formant un angle de x degrés.
On chercher à construire un triangle ABC tel que :
- AB=5 \text{ cm} ;
- AC=6 \text{ cm} ;
- \widehat{BAC}=40°.
Connaissant une longueur a et les mesures x et y d'angles dont la somme est comprise entre 0° et 180° (exclus), on peut construire un triangle ayant un côté de longueur a adjacent à deux angles de x et y degrés.
On chercher à construire un triangle ABC tel que :
- AB=5 \text{ cm} ;
- \widehat{BAC}=40° ;
- \widehat{ABC}=60°.
Les triangles particuliers
Certains triangles possèdent des propriétés particulières. Il y a notamment les triangles isocèles et les triangles équilatéraux.
Le triangle isocèle
Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Ses angles à la base sont de même mesure.
La définition du triangle isocèle
Un triangle est isocèle s'il a deux côtés de même longueur. Le sommet joignant ces deux côtés est appelé « sommet principal », et le côté opposé à ce sommet est appelé « base ».
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.
Sommet principal
Dans un triangle isocèle, le sommet joignant les côtés de même longueur est le sommet principal.
Base
Dans un triangle isocèle, le côté opposé au sommet principal est la base du triangle.
Les propriétés du triangle isocèle
Les deux angles à la base d'un triangle isocèle sont de même mesure.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
Le triangle ABC est isocèle en A, donc \widehat{ABC}=\widehat{ACB}.
Réciproquement, si dans un triangle, deux angles sont de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Dans le triangle ABC, \widehat{ABC}=\widehat{ACB}.
Le triangle ABC est donc isocèle en A.
Le triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont de même longueur et dont les trois angles sont de même mesure.
La définition du triangle équilatéral
Un triangle est équilatéral si tous ses côtés sont de même longueur.
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
Les propriétés du triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°. Pour démontrer qu'un triangle est équilatéral, il suffit de montrer que deux de ses angles mesurent 60°.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60° chacun.
Réciproquement, si les trois angles d'un triangle mesurent 60° chacun, alors ce triangle est équilatéral.
Dans le triangle ci-dessous, les trois angles mesurent 60° chacun.
Le triangle est donc équilatéral.
Pour démontrer qu'un triangle est équilatéral à partir des mesures de ses angles, savoir que deux angles mesurent 60° suffit.
En effet, le troisième angle mesure alors :
180-(60+60)=180-120=60°
Les trois angles mesurent donc 60° chacun.
Le triangle est équilatéral.
Les droites remarquables du triangle
Dans un triangle, on peut tracer des droites particulières appelées « droites remarquables » du triangle. Les hauteurs et les médiatrices font partie de ces droites remarquables.
Les hauteurs
La hauteur d'un triangle est une droite passant par l'un des sommets du triangle et perpendiculaire au côté opposé de ce sommet. On l'utilise notamment pour calculer l'aire d'un triangle.
Les hauteurs dans un triangle
Il existe trois hauteurs dans un triangle : une issue de chaque angle du triangle. Elles peuvent être situées à l'intérieur comme à l'extérieur du triangle.
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle ABC, on appelle « pied de la hauteur » issue de B le point d'intersection de la hauteur avec la droite \left( AC \right). Si l'on note H le pied de la hauteur issue de B, on appelle également « hauteur issue de B » la longueur du segment \left[BH \right].
Dans le triangle ABC, la droite \left( BH \right) est la hauteur issue de B, et H est le pied de la hauteur.
Une hauteur peut être située à l'extérieur du triangle.
Dans un triangle, il y a trois hauteurs.
Que le triangle ne possède que des angles aigus ou non, les trois hauteurs existent.
Le calcul de l'aire d'un triangle à partir de sa hauteur
Pour calculer l'aire d'un triangle, on utilise la longueur issue de l'un des sommets du triangle et la longueur du côté opposé à ce sommet.
L'aire d'un triangle est donnée par la formule suivante :
\mathcal{A} = \dfrac{\text{Base} \times \text{Hauteur}}{2}
Où « base » est la longueur d'un côté, et « hauteur » la hauteur correspondante.
L'aire de ce triangle est égale à :
\mathcal{A}=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12\text{ cm}^2
L'aire d'un triangle est égale à la moitié de celle du parallélogramme associé.
Les médiatrices
Une médiatrice est une droite qui coupe un segment perpendiculairement en son milieu. Dans un triangle, les trois médiatrices des côtés se coupent en un même point : on dit qu'elles sont concourantes.
Les caractéristiques de la médiatrice
La médiatrice d'un segment est la droite qui le coupe perpendiculairement en son milieu. Tout point appartenant à cette droite est équidistant des extrémités du segment.
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite qui coupe ce segment perpendiculairement, en son milieu.
Dans la figure ci-dessous, \Delta est la médiatrice du segment \left[AB \right].
Si un point M appartient à la médiatrice d'un segment \left[ AB \right], alors il est équidistant (à la même distance) de A et de B.
Autrement dit, si M appartient à la médiatrice d'un segment \left[ AB \right], alors MA=MB.
Réciproquement, si un point M est équidistant des deux extrémités d'un segment \left[ AB \right], alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Autrement dit, si MA=MB, alors M appartient à la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Les médiatrices dans un triangle
Dans un triangle, chaque côté a une médiatrice. Les médiatrices sont concourantes : elles ont un point commun. Ce point peut être situé à l'intérieur ou à l'extérieur du triangle.
Médiatrices d'un triangle
On appelle « médiatrices d'un triangle » les médiatrices des côtés du triangle.
Les médiatrices du triangle ABC sont les médiatrices des côtés du triangle.
Les trois médiatrices d'un triangle ont un point commun.
Autrement dit, les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Dans un triangle ABC non aplati, les côtés [AC] et [CB] ne sont pas parallèles.
Leurs médiatrices ne sont donc pas parallèles non plus.
On note G leur point commun.
Comme le point G est sur la médiatrice du segment [AC], il est équidistant des points A et C.
Par conséquent, on a :
AG=CG
Comme le point G est sur la médiatrice du segment [CB], il est équidistant des points C et B.
Par conséquent, on a :
CG=BG
On en déduit :
AG=BG
Le point G est équidistant des points A et B.
Il appartient donc également à la médiatrice du côté [AB] du triangle ABC.
Ce point appartient donc aux trois médiatrices du triangle.
Elles sont concourantes.