Les propriétés de construction d'un triangle
L'inégalité triangulaire
Si les points A, B et C ne sont pas alignés, alors :
AC \lt AB + BC
- AB + BC = 4 + 5{,}5 = 9{,}5\text{ cm}
- AC = 7\text{ cm}
On a bien :
AC \lt AB + BC
La propriété précédente se nomme « inégalité triangulaire ».
L'inégalité triangulaire traduit le fait que le plus court chemin entre les points A et C est le segment \left[ AC \right]. En passant par un troisième point B, on rallonge obligatoirement le chemin : la somme des distances de A à B et de B à C est ainsi plus grande que la distance de A à C.
Si les points A, B et C sont alignés, on a :
AC=AB+BC
Réciproquement, si AC=AB+BC, alors les trois points A, B et C sont alignés.
Sur la figure précédente, les points A, B et C sont alignés. On a bien :
- AB+BC = 7+2=9
- AC=9
Ainsi :
AB+BC=AC
La somme des mesures des angles d'un triangle
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
Dans ce triangle, \textcolor{Blue}{\widehat{ABC}} + \textcolor{Green}{\widehat{BAC}} + \textcolor{Red}{\widehat{ACB}} = 180^\circ.
Si l'on connaît la mesure de deux angles d'un triangle, on peut donc en déduire la mesure du troisième angle.
On connaît les angles \widehat{BAC} et \widehat{ACB} donc on peut en déduire la mesure de l'angle \widehat{ABC}.
\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}-\widehat{ACB}=180-30-40=110°
Les triangles particuliers
Les triangles isocèles
Triangle isocèle
Un triangle isocèle est un triangle possédant deux côtés de même longueur.
Sommet principal et base
Dans un triangle isocèle, le sommet joignant les côtés de même longueur est le sommet principal. Le côté opposé à ce sommet est la base.
Dans un triangle isocèle les angles à la base sont de même mesure.
Réciproquement, si dans un triangle, deux angles sont de même mesure, alors ce triangle est isocèle.
Les triangles équilatéraux
Triangle équilatéral
Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés ont la même longueur.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent 60°.
Réciproquement, si dans un triangle les trois angles mesurent 60°, alors ce triangle est équilatéral.
Cas d'égalité des triangles
Triangles isométriques
Deux triangles sont dits isométriques si leurs trois côtés sont respectivement de même longueur.
Dans la figure ci-dessus, les deux triangles rouges sont isométriques.
Deux triangles sont isométriques s'ils ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement de mêmes mesures.
Les deux triangles ci-dessous sont isométriques.
Deux triangles sont isométriques s'ils ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur.
Les deux triangles ci-dessous sont isométriques.
Deux triangles sont isométriques s'ils sont superposables.
Deux triangles dont les angles sont deux à deux de même mesure ne sont pas nécessairement isométriques.
Les deux triangles ci-dessous ne sont pas isométriques. Pourtant, leurs angles sont deux à deux de même mesure.
Hauteurs et aires
Hauteur d'un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Dans un triangle ABC, on appelle pied de la hauteur issue de B le point d'intersection de la hauteur avec la droite \left( AC \right). Si on note H le pied de la hauteur issue de B, on appelle également hauteur issue de B la longueur du segment \left[BH \right].
Dans le triangle ABC, la droite \left( BH \right) est la hauteur issue de B, et H est le pied de la hauteur.
L'aire d'un triangle est donnée par la formule suivante :
\mathcal{A} = \dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}
Où « base » est la longueur d'un côté, et « hauteur » la hauteur correspondante.
L'aire de ce triangle est égale à :
A=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12\text{ cm}^2
L'aire d'un triangle est égale à la moitié de celle du parallélogramme associé.
