Les systèmes de deux équations à deux inconnues
Définition
Système de deux équations à deux inconnues
Soient a, b, c, a', b' et c' des nombres connus.
Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble formé de deux équations impliquant les mêmes inconnues, désignées en général par x et y. On le note de la manière suivante :
\begin{cases}ax + by = c \cr \cr a'x + b'y = c'\end{cases}
Les solutions d'un tel système sont tous les couples de nombres \left(x ; y\right) vérifiant chacune des deux équations.
On considère le système à deux équations et deux inconnues suivant :
\begin{cases} 5x+3y=-2 \cr \cr 2x+y=1 \end{cases}
Il a pour unique solution le couple (5 ; -9). On peut tester les valeurs de ce couple dans le système.
Pour x=5 et y=-9, on a :
5x+3y=5\times5+3\times\left(-9\right)=25-27=-2
2x+y=2\times5+\left(-9\right)=10-9=1.
Le couple (5 ; -9) est bien solution du système car il vérifie chacune des deux équations de ce dernier.
Attention un couple \left(x;y\right) est une unique solution.
Un système de deux équations à deux inconnues peut admettre, selon les cas :
- Aucun couple solution
- Un unique couple solution
- Une infinité de couples solutions
Le système \begin{cases} 2x-y =3\cr \cr 2x-y=3\end{cases} a une infinité de solutions qui sont les couples \left(m;2 m-3\right) où m représente un nombre quelconque.
Le système \begin{cases} 6x+y=4 \cr \cr 6x+y=1 \end{cases} ne possède pas de solution. En effet, 6x+y ne peut pas être égal, à la fois, à 4 et à 1. Cela signifie qu'il n'existe pas de couple \left(x;y\right) vérifiant les deux équations en même temps.
Résolution par la méthode de substitution
Méthode de substitution
Pour résoudre un système par la méthode de substitution, on exprime une des inconnues en fonction de l'autre dans la première équation, et on remplace cette inconnue par sa nouvelle expression dans la seconde équation. Cette seconde équation ne présente ainsi plus que la seconde inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste enfin plus qu'à remplacer la seconde inconnue par sa valeur dans la première équation, pour en déduire la première inconnue.
Résolution
On veut résoudre le système \left( S \right) suivant par la méthode de substitution :
\begin{cases} x-y=4 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
On remplace x par 4+y dans l'équation (2) :
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2\left(4+y\right)+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 8+2y+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 7y=-14\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4+y \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr y=-2\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
On remplace y par -2 dans l'équation \left( 1 \right) pour déterminer x :
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=4-2 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr y=-2\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
Donc :
\left( S \right)\Rightarrow\begin{cases} x=2 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr y=-2\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
Vérification
Pour x=2 et y=-2 on a :
- x-y=2-\left(-2\right)=4 donc l'équation (1) est vérifiée.
- 2x+5y=2\times2+5\times\left(-2\right)=-6 donc l'équation (2) est vérifiée.
Conclusion
Le système proposé admet une unique solution qui est le couple (2 ; -2).
Résolution par la méthode des combinaisons
Méthode des combinaisons
Pour résoudre un système par la méthode des combinaisons, on multiplie les deux membres d'une équation par un nombre choisi judicieusement, de sorte qu'en additionnant membre à membre les deux équations, une des inconnues disparaisse. On obtient ainsi une équation à une inconnue, qu'il est alors possible de déterminer. Il ne reste enfin plus qu'à remplacer cette inconnue par sa valeur dans une des deux équations, pour en déduire l'autre inconnue.
Résolution
On veut résoudre le système suivant par la méthode des combinaisons :
\begin{cases} 6x-5y=3 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x-3y=5\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
On multiplie les deux membres de l'équation (2) par (-3) et on obtient le système :
\begin{cases} 6x-5y=3 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr -6x+9y=-15\textcolor{Red}{\text{ (2')}} \end{cases}
On additionne membre à membre les équations (1) et (2') et on obtient l'équation :
4y=-12
On en déduit que :
y=-3
On multiplie les deux membres de l'équation (1) par (-3), et les deux membres de l'équation (2) par 5 ; on obtient le système suivant :
\begin{cases} -18x+15y=-9 \textcolor{Red}{\text{ (1'')}}\cr \cr10x-15y=25\textcolor{Red}{\text{ (2'')}} \end{cases}
On additionne membre à membre les équations (\textcolor{Red}{1''}) et (\textcolor{Red}{2''}). On obtient :
-8x=16
On en déduit que :
x=-2
Vérification
Pour x=-2 et y=-3 on a :
- 6x-5y=6\times\left(-2\right)-5\times\left(-3\right)=3 donc l'équation (1) est vérifiée.
- 2x-3y=2\times\left(-2\right)-3\times\left(-3\right)=5 donc l'équation (2) est vérifiée.
Conclusion
Le système proposé admet une unique solution qui est le couple (-2 ; -3).
Systèmes et intersection de deux droites
Intersection de deux droites
Intersection de deux droites
Deux droites du plan sont soit :
- Sécantes en un point d'intersection
- Strictement parallèles, elles n'ont alors aucun point commun
- Parallèles et confondues, elles ont une infinité de points communs
Les coordonnées du point d'intersection
Coordonnées d'un point d'intersection
Pour déterminer les coordonnées du point d'intersection de deux droites, on résout le système formé par les équations de chacune des droites dans un repère orthogonal.
Recherchons les coordonnées du point d'intersection I des droites d'équation y=\dfrac23x+2 et y=-\dfrac13x+5.
Pour cela on résout le système formé par ces deux équations.
\begin{cases} y=\dfrac23x+2 \cr \cr y=-\dfrac13x+5 \end{cases}
Comme y=y, on a :
\dfrac23x+2=-\dfrac13x+5
On résout cette équation :
\dfrac23x+\dfrac13x=5-2
\dfrac33x=3
x=3
On remplace ensuite x par 3 dans une des équations du système de départ :
y=\dfrac23x+2=\dfrac23\times3+2=4
Par conséquent, le point d'intersection des deux droites a pour coordonnées : I (3 ; 4).
- Si les droites sont sécantes, le système admet un unique couple solution.
- Si les droites sont strictement parallèles, le système n'admet pas de solution.
- Si les droites sont confondues, le système admet une infinité de solutions.
Interprétation graphique d'un système de deux équations à deux inconnues
Interprétation graphique d'un système
Tout système de deux équations à deux inconnues, peut se ramener à la recherche des coordonnées du (ou des) point(s) d'intersection des deux droites définies par les deux équations du système.
On souhaite trouver la ou le(s) solution(s) du système suivant :
\begin{cases} x-y=4 \textcolor{Red}{\text{ (1)}}\cr \cr 2x+5y=-6\textcolor{Red}{\text{ (2)}} \end{cases}
Dans l'équation (1), on peut isoler y, ce qui donne :
y=x-4
Avec l'équation (2), on isole également l'inconnue y :
y=-\dfrac25x-\dfrac65
On obtient un nouveau système équivalent au premier :
\begin{cases} y=x-4 \cr \cr y=-\dfrac25x-\dfrac65 \end{cases}
On peut remarquer que la résolution du système de départ se ramène à la recherche des coordonnées du point d'intersection de deux droites, d'équations respectives
- y=x-4 (coefficient directeur 1 et ordonnée à l'origine -4)
- y=-\dfrac25x-\dfrac65 (coefficient directeur -\dfrac25 et ordonnée à l'origine -\dfrac65 )
Comme y=y, on obtient l'équation suivante que l'on résout :
x-4=-\dfrac25x-\dfrac65
x+\dfrac25x=-\dfrac65+4
\dfrac75x=\dfrac{14}{5}
x=2
Pour finir, on remplace x par 2 dans une des équations du système :
y=x-4=2-4=-2
Le système possède ainsi une unique solution, le couple (2 ; -2), qui correspond aux coordonnées du point d'intersection des deux droites ayant pour équations celles du système.
