Les symétries
La symétrie orthogonale
Symétrie orthogonale
Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie orthogonale d'axe \Delta si la droite \Delta est la médiatrice du segment [MM'].
On parle aussi de symétrie axiale ou de réflexion d'axe \Delta .
La symétrie orthogonale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.
La symétrie centrale
Symétrie centrale
Le point M' est le symétrique du point M par la symétrie centrale de centre O si le point O est le milieu du segment [MM'].
La symétrie centrale conserve le parallélisme, l'alignement, l'orthogonalité, les longueurs, les angles et les aires.
L'image d'une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
Les droites (d) et (d') sont parallèles.
Triangles et droites parallèles
Les droites des milieux
Droite des milieux
Dans un triangle, toute droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Cette droite est appelée droite des milieux.
Le point I étant le milieu de [AB] la droite (IJ) étant parallèle à (BC), on en déduit que J est le milieu de [AC].
Droite des milieux : réciproque
Réciproquement, toute droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté.
Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], la droite (MN) est donc parallèle à (BC).
Droite des milieux et longueurs
Soit un triangle ABC. On appelle M le milieu de [AB] et N le milieu de [AC]. On a :
BC = 2MN
Le point M étant le milieu de [AB] et N celui de [AC], on en déduit que BC=2\times MN.
Cette relation peut aussi s'écrire MN =\dfrac{1}{2}BC, ou encore \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{1}{2}.
Le théorème de Thalès et sa réciproque
Théorème de Thalès
Soit un triangle ABC, et une droite parallèle à (BC) qui coupe (AB) en M et (AC) en N. D'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
On se propose de déterminer la longueur AB de la figure précédente. où les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On sait que ABC est un triangle avec M\in\left[ AB \right] et N\in\left[ AC \right]. De plus, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Ainsi, d'après le théorème de Thalès :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}
D'où :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
On en déduit que :
\dfrac{3{,}3}{AB}=\dfrac{2{,}5}{3{,}5}
Puis avec le produit en croix :
AB= \dfrac{3{,}3\times3{,}5}{2{,}5}=4{,}62 cm
La droite (MN) n'est pas nécessairement située "à l'intérieur" du triangle ABC, comme le montrent les différentes configurations suivantes.
Réciproque du Théorème de Thalès
Réciproquement, dans un triangle ABC, si une droite coupe (AB) en M et (AC) en N, telle que \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC} et que les points A, M, B et A, N, C sont dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
On veut démontrer que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
ABC est un triangle et les points A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre.
D'une part :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{2{,}4}=\dfrac56
D'autre part :
\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{2{,}5}{3}=\dfrac56
Donc :
\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
L'agrandissement et la réduction
Proportionnalité des longueurs et des aires
Soit une configuration de Thalès dans un triangle ABC.
En posant :
k =\dfrac{AM}{AB}
Les relations suivantes sont alors vérifiées :
- AM = k \times AB
- AN = k \times AC
- MN = k \times BC
- \mathcal{A}ire\left(AMN\right) = k^{2} \times \mathcal{A}ire\left(ABC\right)
Agrandissement et réduction
- Si k \gt 1, le triangle AMN est un agrandissement du triangle ABC.
- Si k \lt 1, le triangle AMN est une réduction du triangle ABC.
Les droites (AC) et (DE) étant parallèles, on passe du triangle DBE au triangle ABC par un agrandissement de facteur \dfrac96 = 1{,}5.
Réciproquement, on passe du triangle ABC au triangle DBE par une réduction de facteur \dfrac{6}{9}\approx0{,}67.
Si l'on passe d'une figure 1 à une figure 2 par un agrandissement de facteur k, on passe de la figure 2 à la figure 1 par une réduction de facteur \dfrac{1}{k}.