La symétrie centrale
La symétrie centrale d'un point ou d'une figure se fait par rapport à un point. Elle conserve les propriétés de la figure d'origine et a des effets bien spécifiques sur les figures géométriques.
Les symétriques d'un point et d'une figure
Deux points équidistants d'un point O et alignés avec ce même point sont symétriques par rapport à ce point. Deux figures superposables après avoir effectué un demi-tour autour d'un point sont symétriques par rapport à ce point.
Symétrique d'un point
Deux points A et B sont dits symétriques par rapport à un point O lorsque le point O est le milieu du segment \left[ AB \right].
Le point B est le symétrique du point A par rapport à O. Inversement, le point A est le symétrique du point B par rapport à O.
On dit aussi que le point B est le symétrique du point A par la symétrie de centre O.
Figures symétriques
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O lorsqu'elles se superposent après avoir effectué un demi-tour autour du point O. Le point O est appelé « centre de symétrie ».
Dans une symétrie centrale, le centre de symétrie est le seul point invariant (il est son propre symétrique).
Sur la figure ci-dessous, on trouve les images des polygones ABCDEF, HIJK et du point L par symétrie centrale de centre G.
Seul le point G est son propre symétrique.
Les propriétés de la symétrie centrale
La symétrie centrale conserve les propriétés de la figure d'origine, c'est-à-dire l'alignement, les distances, le parallélisme, les mesures d'angles et les aires.
La symétrie centrale conserve l'alignement.
Le segment [B'D'] de centre C est le symétrique du segment [BD] de centre C' par rapport au point A.
La symétrie centrale conserve l'alignement : B', C' et D' sont alignés.
La symétrie centrale conserve les distances.
Les segments (B'C'] et [D'E'] sont les symétriques respectifs des segments [BC] et [DE] par rapport au point A.
La symétrie centrale conserve les distances : BC = B'C' et DE = D'E'.
La symétrie centrale conserve le parallélisme.
Le losange B'C'D'E' et le symétrique du losange BCDE par rapport au point A.
D'après la définition du losange, ses côtés opposés sont parallèles.
On a donc, dans BCDE, [BC] // [ED] et [CD] // [EB].
La symétrie centrale conserve le parallélisme : [B'C'] // [E'D'] et [C'D'] // [E'B'].
La symétrie centrale conserve les mesures d'angles.
La figure G'H'E'D'C'F' est le symétrique de la figure GHEDCF par rapport au point A.
La symétrie centrale conserve les angles :
\widehat{CDE} = \widehat{C'D'E'} ;
\widehat{DEH} = \widehat{D'E'H'} ;
\widehat{EHG} = \widehat{E'H'G'} ;
\widehat{HGF} = \widehat{H'G'F'} ;
\widehat{GFC} = \widehat{G'F'C'} ;
\widehat{FCD} = \widehat{F'C'D'}.
La symétrie centrale conserve les aires.
Le rectangle B'C'D'E' est le symétrique du rectangle BCDE par rapport au point A.
D'après la définition de l'aire du rectangle :
A= BC \times CD = 3\times4=12
La symétrie centrale conserve l'aire :
A' = A = 12
Les effets de la symétrie centrale sur les figures géométriques
Le symétrique d'un segment par symétrie centrale est un segment parallèle de même mesure. Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
Le symétrique d'une droite par symétrie centrale est une droite parallèle.
Les droites \left( d \right) et \left( d' \right) sont parallèles.
Le symétrique d'un segment par symétrie centrale est un segment parallèle de même longueur.
Les segments \left[ AB \right] et [A'B'] ont la même longueur et sont parallèles.
Le symétrique d'un angle par symétrie centrale est un angle de même mesure.
Les angles \widehat{ABO} et \widehat{A'B'O} ont la même mesure.
La symétrie centrale modifie le sens des figures (elle les « retourne » horizontalement et verticalement).
Les figures ABCDE et VWXYZ sont symétriques par rapport à O.
Le centre de symétrie d'une figure
Lorsqu'une figure peut se superposer sur elle-même par rapport à un point particulier, elle a un centre de symétrie. Certaines figures ont un centre de symétrie, d'autres n'en ont aucun.
Centre de symétrie
Une figure possède un centre de symétrie si son symétrique par rapport à ce centre est la figure elle-même.
Le point O est le centre de symétrie de la figure ci-dessous.
Une figure dont les contours sont délimités ne possède au plus qu'un seul centre de symétrie. Elle peut n'en posséder aucun.
Le panneau de signalisation de fin de stationnement interdit admet un centre de symétrie.
Le panneau de signalisation d'un rond-point n'a pas de centre de symétrie.
Un quadrilatère qui possède un centre de symétrie est un parallélogramme.
Un quadrilatère qui possède un centre symétrie a nécessairement ses diagonales qui se coupent en leur milieu.
Le quadrilatère ABCD possède un centre de symétrie, le point E. Ses diagonales se coupent en E, soit leur milieu.
Il s'agit d'un parallélogramme.
Les différences entre la symétrie centrale et la symétrie axiale
Les symétries centrale et axiale n'ont pas les mêmes effets sur les figures. Par ailleurs, les centres et axes de symétrie diffèrent d'une figure à l'autre.
La comparaison des propriétés de la symétrie axiale et de la symétrie centrale
Les propriétés de la symétrie centrale peuvent être similaires ou différentes de celles de la symétrie axiale. On peut les comparer au niveau de l'alignement des points, des droites, des segments, des cercles, des angles, ou encore des figures quelconques.
Parmi les propriétés des symétries centrales, certaines ne sont pas vérifiées par la symétrie axiale :
- Le symétrique d'une droite est toujours une droite parallèle à la droite de départ.
- Le symétrique d'un segment est toujours un segment parallèle au segment de départ.
- La symétrie centrale inverse toujours les sens « haut »/« bas » et « gauche »/« droite ».
Les axes et centres de symétrie des figures usuelles
Certaines figures usuelles possèdent un ou plusieurs axes de symétrie et un centre de symétrie. D'autres possèdent un ou plusieurs axes de symétrie mais pas de centre de symétrie. D'autres, encore, ne possèdent pas d'axe de symétrie mais possèdent un centre de symétrie. Enfin, certaines ne possèdent ni axe ni centre de symétrie.
On retrouve des axes et des centres de symétrie dans de nombreux pavages.
Le pavage suivant possède de nombreux axes et centres de symétrie.
En utilisant l'une des symétries centrales suivantes, les symétriques des octogones et des carrés représentés sur le pavage sont également sur le pavage :
- la symétrie de centre, le centre d'un carré ;
- la symétrie de centre, le centre d'un octogone rouge ;
- la symétrie de centre, le centre d'un octogone violet.
En utilisant l'une des symétries axiales suivantes, les symétriques des octogones et des carrés représentés sur le pavage sont également sur le pavage :
- la symétrie d'axe une droite joignant le milieu de deux côtés opposés d'un des carrés ;
- la symétrie d'axe une droite verticale passant par le centre d'un octogone rouge ;
- la symétrie d'axe une droite verticale passant par le centre d'un octogone violet.