Le vocabulaire et les notations
Pour aborder les relations géométriques, il convient de connaître le vocabulaire notamment ce qu'est un segment, un polygone, une droite ou une demi-droite. On utilise une notation particulière pour chacun de ses éléments.
Pour donner le nom d'un point du plan, on utilise des lettres capitales. Un point peut donc s'appeler A, B, C, etc.
On utilise parfois les lettres de l'alphabet grec : \Omega, \Gamma, etc.
Segment
Un segment d'extrémités A et B est une ligne droite délimitée par les deux points A et B.
- On note \left[ AB \right] ou \left[ BA \right] ce segment.
- Sa longueur se note AB ou BA.
- Si le point I est sur le segment \left[ AB \right] (on dit qu'il appartient au segment \left[ AB \right]), on note I \in \left[ AB \right].
Polygone
Un polygone est une ligne brisée fermée.
- On appelle sommets les extrémités des segments composant le polygone.
- Le nom d'un polygone est donné par les noms des sommets que l'on lit en parcourant la ligne dans le sens des aiguilles d'une montre, ou dans le sens inverse.
- Un segment qui joint deux sommets non consécutifs du polygone est appelé diagonale.
- Un segment qui joint deux côtés consécutifs du polygone est appelé arête du polygone.
Le polygone ci-dessus a 5 sommets : A, B, C, D et E. On peut le nommer par exemple ABCDE. Les segments \left[ AB \right] et \left[ DE \right], entre autres, sont des côtés du polygone.
Droite
Une droite est une ligne rectiligne illimitée des deux côtés et sans épaisseur. Dans la pratique, on la représente par une ligne rectiligne forcément limitée et de l'épaisseur du crayon. La droite passant par deux points A et B se note \left( AB \right) ou \left( BA \right).
Une droite est illimitée. Elle n'a donc pas d'extrémités et ne peut pas être mesurée.
Demi-droite
Une demi-droite est une portion de droite limitée d'un côté par un point. Une demi-droite d'extrémité A et passant par B se note \left[ AB \right).
Une demi-droite étant illimitée d'un côté, elle ne peut pas non plus être mesurée.
Les relations géométriques en rapport avec les points
Deux points sont alignés s'ils appartiennent à une même droite. Qu'il s'agisse de deux points ou d'un point et d'une droite, la distance entre deux objets géométriques correspond au plus court chemin qui joint les deux objets.
Les points alignés
Points alignés
On dit que des points sont des points alignés s'ils appartiennent à une même droite.
Dans la figure suivante, les points A, B, C et D appartiennent tous à la droite \left( d \right) : ils sont alignés.
Deux points sont toujours alignés.
La distance entre deux points ou un point et une droite
Distance
La distance entre deux objets géométriques (droite, point, etc.) est le nombre donné dans une unité choisie qui donne le plus court chemin qui joint le premier objet au deuxième.
La distance entre deux points est la longueur du segment joignant ces deux points.
On considère un point A du plan et une droite \left( d \right).
On appelle \left( d' \right) la droite perpendiculaire à \left( d \right) passant par A, et H le point d'intersection des droites \left( d \right) et \left( d' \right).
La distance entre le point A et la droite \left( d \right) est la longueur du segment \left[AH \right].
Dans la figure ci-dessus, le point A est situé à 3 cm de la droite \left( d \right).
On considère une droite (d) et un point A.
La propriété précédente permet de mesurer la distance entre le point A et la droite (d).
On considère une droite (d) et un point A.
On cherche à mesurer la distance du point A à la droite (d).
Pour mesurer la distance du point A à la droite (d), il suffit de mesurer la distance AH.
Les relations géométriques entre des droites
Il existe des relations géométriques entre des droites. Deux droites peuvent être sécantes ou parallèles. Lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit, elles sont perpendiculaires.
Les droites sécantes et les droites parallèles
Droites sécantes
Deux droites sont sécantes lorsqu'elles ont un point commun.
Ce point est appelé point d'intersection des deux droites.
Dans la figure ci-dessous, les droites \left( AB \right) et \left( CD \right) sont sécantes. Leur point d'intersection est I.
Droites parallèles
Deux droites sont parallèles lorsqu'elles ne sont pas sécantes.
On note \left(d_1\right)\ //\ \left(d_2\right) pour indiquer que les droites (d_1) et (d_2) sont parallèles.
Les droites tracées ci-dessous sont parallèles.
Deux droites parallèles peuvent être confondues.
Les droites perpendiculaires
Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles se coupent en formant un angle droit.
On note \left(d_1\right) \perp \left(d_2\right) pour indiquer que les droites (d_1) et (d_2) sont perpendiculaires.
Les droites tracées ci-dessous sont perpendiculaires.
On considère une droite (d) et un point A.
Avec une équerre, on peut tracer la droite perpendiculaire à la droite d passant par A.
Sur la figure ci-dessous, on sait que \left(d_1\right)\ //\ \left(d_2\right) et \left(d_2\right)\ //\ \left(d_3\right). On peut en déduire que \left(d_1\right)\ //\ \left(d_3\right).
Sur la figure ci-dessous, on sait que \left(d_1\right)\ //\ \left(d_2\right) et \left(d_1\right) \perp \left(d_3\right). On peut en déduire que \left(d_2\right) \perp \left(d_3\right).
Sur la figure ci-dessous, on sait que \left(d_1\right) \perp \left(d_3\right) et \left(d_2\right) \perp \left(d_3\right). On peut en déduire que \left(d_1\right)\ //\ \left(d_2\right).
On considère une droite (d) et un point A.
La propriété précédente permet d'obtenir une méthode de construction de la droite parallèle à la droite (d) passant par A.
On cherche à tracer la droite (d') parallèle à la droite (d) et passant par A.
On considère une droite (d) et un point A.
Les droites (d) et (d') sont toutes les deux perpendiculaires à la droite représentée par la règle.
De plus la droite (d') passe par le point A.
C'est donc la droite parallèle à la droite (d) et passant par A.
Les égalités de longueur et de mesures d'angles
Parmi les relations géométriques, on trouve les égalités de mesures de longueurs ou d'angles.
L'égalité de longueurs
Les égalités de longueurs de segments interviennent dans de nombreuses propriétés géométriques. On retrouve notamment les notions de milieu d'un segment, de médiatrice et de rayon d'un cercle.
Milieu d'un segment
On appelle milieu d'un segment \left[ AB \right] le point I tel que :
- I \in\left[ AB \right]
- I est équidistant (à égale distance) des extrémités A et B du segment.
Dans la figure ci-dessus, I est le milieu de \left[ AB \right].
Sur la figure précédente, on a utilisé la même marque sur les segments \left[ AI \right] et \left[ IB \right] pour indiquer que ces segments ont la même longueur.
L'ensemble des points équidistants de deux points A et B donnés est une droite. On appelle cette droite la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Dans la figure ci-dessus, la droite \left( d \right) est la médiatrice du segment \left[ AB \right].
Cercle
Un cercle est une ligne courbe formée de l'ensemble des points situés à une distance R donnée d'un point donné O. Le point O est appelé « centre du cercle » et R est appelé « rayon du cercle ».
L'égalité de mesures d'angles
Lorsque deux angles sont superposables, ils sont de même mesure. On les note de la même manière sur la figure.
Angles de même mesure
Deux angles sont de même mesure lorsqu'ils sont superposables.
Lorsque deux angles ont la même mesure, on indique sur la figure la même marque sur les deux angles.
Dans la figure ci-dessous, les angles \widehat{ADC} et \widehat{ABC} ont la même mesure, ce qui est signifié par un symbole identique.
