Vocabulaire
Expérience aléatoire
Une expérience est dite aléatoire lorsque son résultat est lié au hasard et ne peut donc pas être prédit à l'avance avec certitude.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une expérience aléatoire : il existe 6 résultats possibles, dont aucun n'est prévisible de façon certaine.
Éventualité (ou issue)
Les résultats possibles d'une expérience sont généralement appelés éventualités (ou issues).
Les éventualités de l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé à 6 faces, notées e_{i}, sont :
- e_{1} : face 1
- e_{2} : face 2
- e_{3} : face 3
- e_{4} : face 4
- e_{5} : face 5
- e_{6} : face 6
Épreuve
On appelle épreuve une expérience dont les différentes issues sont aléatoires et auxquelles on peut attacher des fréquences d'apparition connues ou estimées.
Le lancer d'un dé équilibré à 6 faces constitue une épreuve. On sait que la fréquence d'apparition de chaque face est égale à \dfrac16.
Événement
Un événement est un ensemble d'éventualités (ou d'issues).
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A :
A : "obtenir un multiple de 3 ou de 5"
Les éventualités correspondant à cet événement sont :
- e_{3} : face 3
- e_{5} : face 5
- e_{6} : face 6
Événement élémentaire
Un événement ne contenant qu'une issue (ou éventualité) est dit élémentaire.
On considère le lancer d'un dé équilibré à 6 faces. On souhaite étudier l'événement A
A : "obtenir un multiple de 5".
L'événement A ne contenant qu'une issue, c'est un événement élémentaire.
Événements incompatibles
Deux événements sont dits incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire simultanément.
Soient :
- P : "obtenir un nombre pair "
- T : "obtenir 3"
Les événements P et T sont incompatibles : ils ne peuvent pas se réaliser en même temps.
Événement contraire
On appelle événement contraire de l'événement A, noté \overline{A}, l'ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A.
On considère le lancer d'un dé équilibré à six faces. Soit :
M : "obtenir un multiple de 3" ce qui revient à "obtenir la face 3 ou la face 6".
L'événement contraire de M est :
\overline{M} : "ne pas obtenir un multiple de 3" ce qui revient à "n'obtenir ni la face 3 ni la face 6".
Probabilité
Lorsque l'on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire de façon indépendante et dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation d'un événement E se rapproche d'un nombre que l'on appelle probabilité de cet événement. On le note p\left(E\right).
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1. Elle exprime la "chance" qu'a cet événement de se produire (on dit aussi d'être réalisé). On peut l'exprimer sous forme d'un nombre à virgule, d'une fraction ou d'un pourcentage.
Événement impossible
Un événement impossible est un événement qui ne peut pas se réaliser. Sa probabilité est 0.
Lorsque l'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement "obtenir 10" est un événement impossible.
Événement certain
Un événement certain est un événement qui se réalise toujours. Sa probabilité est 1.
Lorsque l'on lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, l'événement "obtenir un nombre inférieur à 10" est un événement certain.
Si deux événements A et B sont incompatibles, la probabilité qu'au moins un des deux événements se réalise est la somme des probabilités des deux événements. On note :
p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right)
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Notons :
- A l'événement "On obtient un nombre pair"
- B l'événement "On obtient un nombre impair"
A et B sont incompatibles donc p\left(A\cup B\right)=p\left(A\right)+p\left(B\right).
L'événement A\cup B (qui se lit "A ou B") est l'événement "Au moins l'un des deux événements A ou B est réalisé".
Quel que soit l'événement A :
p\left(A\right)+p\left(\overline{A}\right)=1
Autrement dit, quel que soit l'événement A :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Notons A l'événement "On obtient un nombre pair". Supposons que le dé n'est pas équilibré et que p\left(A\right)=\dfrac{2}{3}.
Alors \overline{A} est l'événement contraire de l'événement A, soit l'événement "obtenir un nombre impair", et :
p\left(\overline{A}\right)=1-p\left(A\right)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
Cas d'équiprobabilité
Situation équiprobable
On appelle situation équiprobable une expérience où tous les événements élémentaires ont la même probabilité d'être réalisées.
Si on lance un dé équilibré, la probabilité de sortie de chaque face est égale. On est donc dans une situation d'équiprobabilité.
En situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A, notée p\left( A \right), est égale à :
\dfrac{\text{Nombre d'éventualités réalisant } A}{\text{Nombre total d'éventualités}}
On lance un dé équilibré à 6 faces. On cherche la probabilité de l'événement A suivant :
A : "obtenir un multiple de 3 ou de 5"
Il existe 3 éventualités réalisant cet événement :
- e_{3} : face 3
- e_{5} : face 5
- e_{6} : face 6
De plus, le dé étant équilibré, la situation est équiprobable et chaque face a 1 chance sur 6 de sortir.
On en conclut finalement que la probabilité de l'événement A est égale à :
p\left(A\right)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}
Cas de non équiprobabilité
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose le dé non équilibré. Un grand nombre de lancers a permis d'obtenir les résultats suivants :
| Face | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilité | \dfrac{1}{3} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{12} | \dfrac{1}{3} |
Notons A l'événement "Obtenir un nombre pair". On a :
p\left(A\right)=p\left(\left\{ \text{obtenir 2} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 4} \right\}\right)+p\left(\left\{ \text{obtenir 6} \right\}\right)
p\left(A\right)=\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}
Cette propriété est également valable dans les cas d'équiprobabilité.
Pour représenter une expérience aléatoire comportant deux épreuves, on peut construire un arbre de probabilités.
Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules rouges, indiscernables au toucher. On tire successivement, sans remise, deux boules de l'urne. Autrement dit :
- On tire une première boule.
- On ne la remet pas dans l'urne.
- On tire une seconde boule.
On note :
- B_1 : "On tire une boule blanche au 1er tirage."
- R_1 : "On tire une boule rouge au 1er tirage."
- B_2 : "On tire une boule blanche au 2e tirage."
- R_2 : "On tire une boule rouge au 2e tirage."
On peut alors représenter l'expérience par un arbre pondéré (de probabilités) :
- La probabilité d'obtenir une boule rouge comme première boule est \dfrac{3}{8}, car il y a 3 boules rouges sur un total de 8 boules, chacune des boules ayant la probabilité d'être choisie.
- Si on a obtenu une boule rouge comme première boule, il reste, après ce tirage 2 boules rouges et 5 boules blanches.
- La probabilité d'obtenir une boule rouge au deuxième tirage, sachant que l'on a obtenu une boule rouge au premier tirage est donc \dfrac{2}{7}.
- La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
- La probabilité d'un chemin est égale au produit des probabilités des branches constituant ce chemin.
Dans l'exemple précédent, la probabilité de l'événement "obtenir deux boules rouges" est :
\dfrac{3}{8}\times\dfrac{2}{7}=\dfrac{3\times2}{8\times7}=\dfrac{6}{56}=\dfrac{3}{28}