Les nombres négatifs et les nombres relatifs
Les nombres négatifs
Nombre négatif
Un nombre négatif est un nombre précédé d'un signe "-". Le nombre \left(-a\right) est défini comme le résultat de la soustraction 0-a.
(-6) est un nombre négatif. Il est plus petit que 0. Il est le résultat de la soustraction 0 - 6.
(-6) est à la même distance de 0 que 6.
Nombres opposés
Deux nombres opposés sont deux nombres qui ont la même distance à 0 et des signes différents.
(-6) et 6 sont des nombres opposés.
Pour déterminer l'opposé d'un nombre positif, on ajoute un signe "-" devant.
L'opposé de 12 est (-12).
Pour déterminer l'opposé d'un nombre négatif, on retire le signe "-".
L'opposé de (-0,25) est 0,25.
Les nombres relatifs
Nombre relatif
Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe + (il est alors positif) ou - (il est alors négatif).
(-6) est un nombre négatif. C'est un nombre relatif.
(+21,7) est un nombre positif. C'est un nombre relatif.
Tout entier naturel ou tout nombre décimal est un nombre relatif.
56 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+56).
1,78 est un nombre relatif qui peut s'écrire (+1,78).
Pour désigner un nombre relatif, on l'entoure de parenthèses. En général, les nombres positifs s'écrivent sans signe + et sans parenthèses.
(+21,7) est un nombre positif, qui peut s'écrire 21,7.
Addition et soustraction de nombres relatifs
Somme de deux nombres négatifs
La somme de deux nombres négatifs est égale à la somme de leurs opposés précédée d'un signe -.
\left(-9\right) + \left(-12\right) = - \left(9 + 12\right) = - \left(21\right) = \left(-21\right) = -21
Somme de deux nombres relatifs de signes différents
La somme de deux nombres relatifs de signes différents est égale à la différence de leurs distances par rapport à 0, précédée du signe du nombre le plus éloigné de 0.
7 + \left(-15\right) = - \left(15 - 7\right) = - \left(8\right) = \left(-8\right) = -8
La somme de deux nombres opposés est égale à 0.
\left(-4\right) + \left(+4\right) = 0
Soustraction de deux nombres relatifs
45 - 12 = 45 + \left(-12\right)
Dans une séquence d'additions et soustractions, on peut enlever les parenthèses des nombres relatifs et supprimer leurs signes en suivant la règle :
- Lorsque deux signes identiques se suivent, on les remplace par un +.
- Lorsque deux signes différents se suivent, on les remplace par un -.
\left(+11\right) - \left(-16\right) + \left(-4\right) = 11 + 16 - 4 = 27 - 4 = 23
Comparaison de nombres relatifs
Lorsque l'on compare deux nombres relatifs, trois cas se présentent.
Les deux nombres sont positifs
Si deux nombres sont positifs, on peut utiliser la règle usuelle pour les comparer.
Les deux nombres sont négatifs
On considère deux nombres négatifs -a et -b. On a alors :
- Si a\lt b, alors -a\gt -b
- Si a\gt b, alors -a\lt -b
Un des deux nombres est positif et l'autre est négatif
Le nombre négatif est toujours inférieur au nombre positif.
On cherche à comparer 2 et 5. Les deux nombres sont positifs, donc :
2\lt 5
On cherche à comparer -2 et -5. Ces deux nombres sont négatifs.
On sait que :
2\lt 5
Donc :
-2\gt -5
On cherche à comparer 2 et -5. On a directement :
-5\lt 2