La numération
La numération
On utilise dix chiffres pour écrire un nombre entier : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
1243 est composé des chiffres 1, 2, 3 et 4.
2431 est également composé des chiffres 1, 2, 3 et 4 mais dans un ordre différent.
La position qu'occupe un chiffre dans un nombre indique combien d'unités, de dizaines, de centaines, de milliers, etc. comporte ce nombre. Si l'on change l'ordre des chiffres d'un nombre, on obtient ainsi un nombre différent.
Dans le nombre 1 746 235 (un million sept cent quarante-six mille deux cent trente-cinq) :
- 5 est le chiffre des unités
- 3 est le chiffre des dizaines
- 2 est le chiffre des centaines
- 6 est le chiffre des milliers
- 4 est le chiffre des dizaines de milliers
- 7 est le chiffre des centaines de milliers
- 1 est le chiffre des millions
En utilisant les mêmes chiffres dans un ordre différent on obtient un autre nombre : 7 456 231.
De manière à lire facilement un nombre, on sépare chaque rangée de trois chiffres (en partant de la droite, c'est-à-dire du chiffre des unités) par un espace.
On écrit 564 859 123 et non 564859123, pour une meilleure lisibilité.
Comparaison de deux nombres entiers
Comparer deux nombres signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux :
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est inférieur à b et on note a\lt b .
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est supérieur à b et on note a\gt b .
- Si le nombre a est égal au nombre b, on note a=b.
15 est plus petit que 45 donc 15 est inférieur à 45 et on note 15\lt45.
56 est plus grand que 23 donc 56 est supérieur à 23 et on note 56\gt 23.
On distingue deux cas :
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a\lt b .
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est inférieur ou égal à b et on note a\leqslant b .
De même :
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, mais n'est pas égal à b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a\gt b .
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, et peut être égal à b, on dit que a est supérieur ou égal à b et on note a\geqslant b .
Rangement par ordre croissant ou décroissant
- Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
- Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant : 3\lt5\lt8\lt12.
Les nombres suivants sont rangés par ordre décroissant : 45\gt26\gt13\gt2.
Axe ou droite gradué(e)
Un axe ou droite gradué(e) est découpé(e) selon une unité de longueur fixe.
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur un axe gradué est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.
Pour déterminer l'abscisse du point A, on compte le nombre de graduations, sachant que chaque graduation correspond à une longueur de 1.
L'abscisse du point A est donc égale à 3.
L'addition
L'addition
Une addition est composée de termes et son résultat est appelé somme.
3 + 5 = 8
3 et 5 sont les termes de l'addition et le résultat du calcul, 8, est appelé somme.
Dans une addition, on peut :
- Inverser l'ordre des termes.
- Regrouper les termes.
5 + 13 = 13 + 5
70 + 6 + 14 = 70 + \left(6 + 14\right)
Cette propriété est très utile en calcul mental, pour regrouper les termes dont la somme est égale à un multiple de 10 notamment.
(Un multiple de 10 est un nombre dont le chiffre des unités est 0, comme 10, 20, 30, etc.)
15 + 7 + 25 + 3 = (15 + 25) + (7 + 3) = 40 + 10 = 50
La soustraction
La soustraction
Une soustraction est composée de termes et son résultat est appelé différence.
85 - 12 = 73
85 et 12 sont les termes de la soustraction et le résultat, 73, est appelé différence.
Dans une soustraction, on ne peut pas inverser l'ordre des termes, car le premier terme doit toujours être supérieur au second.
16 - 7 n'est pas égal à 7 - 16.
7 - 16 est impossible car 16 est plus grand que 7.
La multiplication
La multiplication
Une multiplication est composée de facteurs et son résultat est appelé produit.
15\times6=90
15 et 6 sont les facteurs de la multiplication et le résultat, 90, est appelé produit.
65\times78=78\times65
25\times2\times14\times4=\left(2\times14\right)\times\left(4\times25\right)
Cette propriété est très utile en calcul mental, pour regrouper les facteurs dont le produit est égal à un multiple de 10 notamment.
\textcolor{Blue}{4} \times 2 \times 5 \times \textcolor{Blue}{25} = \underbrace{\textcolor{Blue}{4} \times \textcolor{Blue}{25}}_{100} \times 5 \times 2 = \underbrace{100 \times 5}_{500} \times 2 = 500 \times 2 = 1\ 000
78\times0=0
La division
La division euclidienne
La division euclidienne
Dans la division de a par b, le nombre a est le dividende, le nombre b est le diviseur. Le résultat est le quotient, et peut être accompagné d'un reste :
\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}
On écrit aussi : a = b \times q + r
La division euclidienne de 378 par 15 donne :
378=15\times25+3
378 est le dividende, 15 le diviseur, 25 le quotient et 3 le reste.
- La division euclidienne de 378 par 15 donne : 378=15\times25+3
3 est bien le reste car 3 est inférieur au diviseur 15. - Si on écrit 378=15\times24+18, le nombre 18 n'est pas le reste car 18 est plus grand que le diviseur 15.
56\div0 est impossible.
Les multiples et les diviseurs
Les multiples et les diviseurs
Si le reste de la division de a par b est nul (égal à 0 ), on dit a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. On dit également que a est divisible par b.
39=3\times13+0
Le reste de la division euclidienne de 39 par 3 est 0 donc on dit que :
- 39 est un multiple de 3
- 3 est un diviseur de 39
- 39 est divisible par 3
On peut remarquer que 39 est également divisible par 13.
A l'aide des critères de divisibilité suivants, on détermine facilement si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 :
- Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est égal à 0, 2, 4, 6 ou 8.
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre entier est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
- Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est égal à 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
- Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est égal à 0.
- 1 256 est divisible par 2 car son chiffre des unités est 6.
- 2 256 est divisible par 3 car la somme de ses chiffres (2 + 2 + 5 + 6 = 15) est un multiple de 3 (15=3\times5).
- 8 936 est divisible par 4 car ses deux derniers chiffres, 36, forment un multiple de 4 (36=4\times9).
- 375 est divisible par 5 car son chiffre des unités est 5.
- 9 837 est divisible par 9 car la somme de ses chiffres (9 + 8 + 3 + 7 = 27) est un multiple de 9 (27=9\times3).
- 1520 est divisible par 10 car son chiffre des unités est 0.