Les nombres décimaux
Les nombres décimaux
Un nombre décimal est formé d'une partie entière et d'une partie décimale, toutes deux séparées par une virgule.
Dans le nombre 15,265 la partie entière est 15 et la partie décimale est 0,265.
Nom des chiffres dans la partie décimale
- Le premier chiffre de la partie décimale est appelé dixième.
- Le deuxième chiffre de la partie décimale est appelé centième.
- Le troisième chiffre de la partie décimale est appelé millième.
Dans le nombre 15,932 :
- Le chiffre 9 est le chiffre des dixièmes.
- Le chiffre 3 est le chiffre des centièmes.
- Le chiffre 2 est le chiffre des millièmes.
On peut ajouter autant de 0 que l'on souhaite à la suite de la partie décimale sans changer la valeur du nombre. Il existe donc une infinité de manières d'écrire un nombre décimal, mais on utilise la plus simple : celle dont la partie décimale ne se termine pas par un 0.
Le nombre 129,56 peut aussi s'écrire 129,560 ; 129,5600 ; etc.
Un nombre entier est un nombre décimal particulier : sa partie décimale est égale à 0. On écrit donc les nombres entiers sans leur partie décimale.
3 = 3{,}0 = 3{,}00 = 3{,}000
- Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la droite.
- Pour multiplier un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la droite.
- Pour multiplier un nombre décimal par 1000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. Il n'y a alors plus de partie décimale et donc de virgule.
On veut calculer 129{,}56 \times 1\ 000.
On doit donc déplacer la virgule de trois rangs vers la droite, mais la partie décimale n'est formée que de deux chiffres. On ajoute donc un 0 à la fin et on retire la virgule :
129{,}56 \times 1\ 000 = 129\ 560
- Pour diviser un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche.
- Pour diviser un nombre décimal par 1000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. On ajoute enfin un dernier 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.
On veut calculer 6{,}74 \div 100.
On doit donc déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche, mais la partie entière n'est formée que d'un seul chiffre. On ajoute donc un 0 avant le 6. On ajoute enfin un dernier 0 au début et on place la virgule :
6{,}74 \div 100 = 0{,}0674
- Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10.
- Multiplier par 0,01 revient à diviser par 100.
- Multiplier par 0,001 revient à diviser par 1000.
494{,}23\times0{,}01=494{,}23\div100=4{,}9423
Un nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction en retirant sa virgule et en le divisant, par 10 si sa partie décimale va jusqu'au dixième, par 100 si sa partie décimale va jusqu'au centième, par 1000 si sa partie décimale va jusqu'au millième, etc.
Sachant que la partie décimale du nombre 129,\textcolor{Red}{56} va jusqu'au centième, ce nombre est égal à la fraction \dfrac{12\ 956}{100}.
Comparaison de nombres décimaux
Comparaison et encadrement
Comparaison
Comparer deux nombres signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux.
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est inférieur à b et on note a \lt b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est supérieur à b et on note a \gt b.
4 est plus petit que (inférieur à) 7,8 : on a donc 4 \lt 7{,}8.
Encadrement
Encadrer un nombre signifie déterminer un nombre plus petit et un nombre plus grand.
On encadre le nombre 4 : 2{,}1 \lt 4 \lt 7{,}8.
Il existe une infinité de possibilités pour encadrer un nombre.
On peut également encadrer le nombre 4 d'autres manières :
- 1\lt4\lt12
- 1{,}05\lt4\lt4{,}01
- 3{,}999\lt4\lt100 000
Précision de l'encadrement
- Un encadrement est dit à l'unité lorsque le nombre de gauche est le plus grand entier possible et celui de droite le plus petit entier possible.
- Un encadrement est dit au dixième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à un chiffre après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à un chiffre après la virgule possible.
- Un encadrement est dit au centième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à deux chiffres après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à deux chiffres après la virgule possible.
5 \lt 5{,}342 \lt 6 est un encadrement à l'unité du nombre 5,342.
5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 est un encadrement au dixième du nombre 5,342.
5{,}34 \lt 5{,}342 \lt 5{,}35 est un encadrement au centième du nombre 5,342.
Valeurs approchées par défaut et par excès
Valeurs approchées
- Dans un encadrement à l'unité, le nombre de gauche est appelé valeur approchée à l'unité par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée à l'unité par excès.
- Dans un encadrement au dixième, le nombre de gauche est appelé valeur approchée au dixième par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée au dixième par excès.
- Dans un encadrement au centième, le nombre de gauche est appelé valeur approchée au centième par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée au centième par excès.
Dans l'encadrement au dixième 5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 :
- 5,3 est la valeur approchée au dixième par défaut du nombre 5,342
- 5,4 est la valeur approchée au dixième par excès du nombre 5,342
Rangement sur un axe gradué
Ordre croissant et décroissant
Ranger des nombres par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
Ranger des nombres par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :
2{,}2 \lt 3{,}6 \lt 3{,}89 \lt 5{,}01 \lt 23 \lt 101.
Axe ou droite gradué(e)
Un axe ou une droite gradué(e) est découpé(e) suivant une unité de longueur fixe.
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur un axe gradué est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.
Pour déterminer l'abscisse du point A, on compte le nombre de graduations, sachant que chaque graduation correspond à une longueur de 0{,}1.
L'abscisse du point A est donc égale à 1{,}4.
Entre deux nombres décimaux, on peut toujours insérer d'autres nombres décimaux. Il suffit d'ajouter un ou plusieurs chiffres à leur partie décimale.
Entre 1,4 et 1,5 on trouve les nombres 1,41, 1,42, 1,43, etc.
Troncature et arrondi
Troncature
La troncature d'un nombre décimal est égale à sa partie entière.
La troncature du nombre 32,87 est égale à 32.
Arrondi
L'arrondi à l'unité d'un nombre décimal est égal au nombre entier le plus proche. Si le chiffre des dixièmes est égal à 5, on arrondit au nombre entier supérieur.
L'arrondi à l'unité du nombre 32,87 est égal à 33.
L'arrondi à l'unité du nombre 2,3 est égal à 2.
L'arrondi à l'unité du nombre 76,5 est égal à 77.
L'arrondi à l'unité du nombre 32,1 est 32 et la troncature est 32 également.
- La troncature de 56,87 est 56.
- L'arrondi à l'unité de 56,87 est 57.
- La valeur approchée à l'unité par défaut de 56,87 est 56.
- La valeur approchée à l'unité par excès de 56,87 est 57.
Ordre de grandeur
Ordre de grandeur
Pour obtenir un ordre de grandeur d'un nombre décimal, on le remplace par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental.
Un ordre de grandeur du nombre 1,78 est 2. Ce nombre est facile à utiliser en calcul mental.
En remplaçant le nombre 1,78 par 2 dans la somme 5 + 1{,}78 on peut trouver un ordre de grandeur du résultat qui est 5 + 2 = 7.
Les opérations sur les nombres décimaux
L'addition
Addition
Une addition est composée de termes et son résultat est appelé somme.
Dans l'addition 2{,}5+3{,}7=6{,}2, les nombres 2,5 et 3,7 sont les termes et le résultat, 6,2, est appelé somme.
5{,}5+2{,}1+8{,}9+4{,}5=\left(5{,}5+4{,}5\right)+\left(2{,}1+8{,}9\right)
Lorsqu'on ajoute deux nombres décimaux dont les parties décimales ne sont pas de même taille, il faut veiller à bien additionner les dixièmes ensembles, les centièmes ensembles, les millièmes ensembles, etc. On rajoute autant de 0 que nécessaire pour que les deux parties décimales soient de même taille.
Calculer 23{,}43 + 3{,}217 revient à calculer 23{,}43\textcolor{Red}{0} + 3{,}217.
Donc :
23{,}43 + 3{,}217 = 23{,}430 + 3{,}217 = 26{,}647
La soustraction
Soustraction
Une soustraction est composée de termes et son résultat est appelé différence.
Dans la soustraction 789{,}15-154{,}22=634{,}93, les nombres 789,15 et 154,22 sont les termes et le résultat, 634,93, est appelé différence.
Dans une soustraction, on ne peut pas inverser l'ordre des termes, car le premier terme doit toujours être supérieur au second.
16{,}56 - 7{,}2 n'est pas égal à 7{,}2 - 16{,}56.
7{,}2 - 16{,}56 est impossible car 16,56 est plus grand que 7,2.
Lorsqu'on soustrait deux nombres décimaux dont les parties décimales ne sont pas de même taille, il faut veiller à bien soustraire les dixièmes ensembles, les centièmes ensembles, les millièmes ensembles, etc. On rajoute autant de 0 que nécessaire pour que les deux parties décimales soient de même taille.
Calculer 3{,}432 - 2{,}21 revient à calculer 3{,}432 - 2{,}21\textcolor{Red}{0}.
Donc :
3{,}432 - 2{,}21 = 3{,}432 - 2{,}210 = 1{,}222
La multiplication
Multiplication
Une multiplication est composée de facteurs et son résultat est appelé produit.
Dans la multiplication :
7{,}5\times1{,}1=8{,}25
- Les nombres 7,5 et 1,1 sont les facteurs.
- Le résultat 8,25 est appelé produit.
12{,}3\times44{,}1=44{,}1\times12{,}3
2{,}5\times18{,}1\times4\times2=\left(2{,}5\times4\right)\times\left(18{,}1\times2\right)
Il est pratique d'identifier les multiplications suivantes dans un calcul :
- 2 \times 0{,}5 = 1
- 4 \times 0{,}25 = 1
- 8 \times 0{,}125 = 1
- 5 \times 0{,}2 = 1
0{,}25\times0{,}2\times4\times5=\left(0{,}25\times4\right)\times\left(0{,}2\times5\right)=1\times1=1
84{,}56\times0=0
0{,}8 étant inférieur à 1, le résultat est inférieur à 4.
On souhaite calculer 1{,}5 \times 0{,}3.
On a :
15 \times 3 = 45
Enfin, sachant que les parties décimales de 1{,}5 et de 0{,}3 sont formées d'un chiffre, on doit placer la virgule sur le nombre 45 de manière à obtenir une partie décimale formée de deux chiffres. Donc :
1{,}5 \times 0{,}3 = 0{,}45
La division à quotient décimal
Division
Dans la division de a par b, le nombre a est le dividende, le nombre b, qui est un entier non nul, est le diviseur. Le résultat est le quotient, et peut être accompagné d'un reste :
\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}
On écrit aussi :
a = b \times q + r
La division de 44,5 par 12 peut s'écrire :
44{,}5=12\times3{,}7+0{,}1.
Quotient décimal ou exact
Le quotient d'une division peut être décimal. Si le reste est alors égal à 0, on parle de quotient décimal exact. Sinon, on parle de quotient décimal approché.
Dans la division de 44,5 par 12, si on écrit 44{,}5=12\times3{,}7+0{,}1, le nombre 3,7 est un quotient décimal approché.
Dans la division de 13,75 par 25, en écrivant 13{,}75=25\times0{,}55+0, on peut dire que le nombre 0,55 est le quotient exact.
Dans la division 44{,}5=12\times3{,}7+0{,}1, le reste 0,1 est plus petit que le diviseur 12.
La division par 0 est impossible.
La division 154{,}45\div0 est impossible.
Dans une division le diviseur peut être un nombre décimal. Dans ce cas il faut multiplier à la fois le dividende et le diviseur par 10, 100, 1000, etc. afin de faire disparaître la virgule du diviseur.
Si on doit effectuer la division de 547,456 par 17,23 on multiplie le dividende et le diviseur par 100 pour faire disparaître la virgule du diviseur. Ainsi on a :
547{,}456\div17{,}23=\left(547{,}456\times100\right)\div\left(17{,}23\times100\right)=54\ 745{,}6\div1\ 723