Définitions
Les nombres décimaux sont des nombres avec une partie décimale que l'on trouve après une virgule. Ils peuvent s'écrire sous la forme d'une fraction décimale. Les chiffres de la partie décimale ont un nom : dixième, centième, millième. Il est possible de passer d'une fraction décimale à un nombre décimal.
Fraction décimale
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ; 1 000 ; etc.
\dfrac{3}{10} et \dfrac{15}{1\ 000} sont des fractions décimales.
Nombre décimal
On appelle nombre décimal tout nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
Le nombre 15,625 peut également s'écrire \dfrac{15\ 625}{1\ 000}. C'est un nombre décimal.
Dixième
Le premier chiffre de la partie décimale est appelé dixième.
Dans le nombre 15,932, le chiffre 9 est le chiffre des dixièmes.
Centième
Le deuxième chiffre de la partie décimale est appelé centième.
Dans le nombre 15,932, le chiffre 3 est le chiffre des centièmes.
Millième
Le troisième chiffre de la partie décimale est appelé millième.
Dans le nombre 15,932, le chiffre 2 est le chiffre des millièmes.
Pour passer d'une fraction décimale à un nombre décimal, on décompose la fraction décimale et on la place dans le tableau de numération.
En écrivant cette fraction décimale comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1, on obtient la partie entière du nombre initial et une fraction pouvant s'écrire sous la forme d'un nombre à virgule en utilisant le tableau ci-dessous :
On écrit alors le nombre décimal sous la forme d'un nombre à virgule grâce au tableau précédent. On appelle « partie entière » la partie située avant la virgule et « partie décimale » le nombre obtenu en soustrayant au nombre sa partie entière.
Dans le nombre 29 867,23 : la partie entière est 29 867 et la partie décimale est 0,23.
La décomposition d'un nombre décimal
Il est possible de décomposer un nombre décimal. Il existe plusieurs méthodes pour décomposer un nombre décimal.
Comme pour la numération des entiers, le lien entre deux colonnes consécutives dans le tableau de numération des nombres décimaux est toujours le même :
- Un dixième correspond à 10 centièmes.
- Un centième correspond à 10 millièmes.
- Un millième correspond à 10 dix-millièmes.
- Un dix-millième correspond à 10 cent-millièmes.
Dans le nombre 29 867,23 :
- le chiffre des dixièmes est 2, ce qui correspond à 20 centièmes ou 200 millièmes ;
- le chiffre des centièmes est 3, ce qui correspond à 30 millièmes.
On peut ajouter autant de 0 que l'on souhaite à la suite de la partie décimale sans changer la valeur du nombre. Il existe donc une infinité de manières d'écrire un nombre décimal.
Le nombre décimal 129,56 peut aussi s'écrire 129,560 ou 129,5600.
Un nombre entier est un nombre décimal particulier : sa partie décimale est égale à 0. On écrit donc les nombres entiers sans leur partie décimale.
3 est un nombre entier que l'on peut écrire sous forme décimale : 3,0 ou 3,00.
On peut décomposer un nombre décimal en séparant sa partie entière de sa partie décimale.
Pour décomposer le nombre décimal 139,17 on peut écrire qu'il a 139 unités et 17 centièmes.
On peut décomposer un nombre décimal en une somme de nombres décimaux possédant un seul chiffre non nul. Cela revient à la décomposer chiffre par chiffre.
Le nombre 12 534,1234 peut se décomposer en somme de nombres décimaux possédant un seul chiffre non nul :
10\ 000+2\ 000+500+30+4+0{,}1+0{,}02+0{,}003+0{,}000\ 4
On peut décomposer un nombre décimal en une somme de produits de nombres entiers par des nombres décimaux ayant 1 comme seul chiffre non nul. Cela revient à la décomposer chiffre par chiffre.
Le nombre 12 534,1234 peut se décomposer en somme de produits de nombres entiers par des nombres décimaux ayant 1 comme seul chiffre non nul :
1\times10\ 000+2\times 1\ 000+5\times 100+3\times 10+4\times 1+1\times 0{,}1+2\times 0{,}01+3\times 0{,}001+4\times 0{,}0001
Manipuler les nombres décimaux
On peut manipuler les nombres décimaux. Comparer des nombres décimaux permet de les ranger dans un ordre croissant ou décroissant. Cela permet également de les encadrer. On peut placer les nombres décimaux sur une demi-droite graduée. Lors de comparaison ou de calcul avec des nombres décimaux, on peut s'aider des valeurs approchées, d'un arrondi ou d'une troncature. Dans les opérations avec des nombres décimaux, on peut utiliser l'ordre de grandeur pour avoir une idée du résultat.
Comparer et ranger des nombres décimaux
On est souvent amené à comparer des nombres décimaux pour les ranger dans l'ordre croissant ou décroissant.
Comparer des nombres décimaux
Comparer deux nombres décimaux signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux.
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a \lt b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a \gt b.
- 4,2 est plus petit que 7,8. On dit aussi que 4,2 est strictement inférieur à 7,8. On a donc : 4{,}2 \lt 7{,}8.
- 7,8 est plus grand que 4,2. On dit aussi que 7,8 est strictement supérieur à 4,2. On a donc : 7{,}8\gt4{,}2.
Ranger des nombres décimaux par ordre croissant
Ranger des nombres décimaux par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :
2{,}2 \lt 3{,}6 \lt 3{,}89 \lt 5{,}01 \lt 23 \lt 101
Ranger des nombres entiers par ordre décroissant
Ranger des nombres décimaux par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre décroissant :
101\gt23\gt5{,}01\gt3{,}89\gt3{,}6\gt2{,}2\\
Encadrer des nombres décimaux
Pour mieux se représenter les nombres décimaux, on peut les encadrer. Les nombres qui encadrent un nombre décimal sont appelées des valeurs approchées.
Encadrer un nombre décimal
Encadrer un nombre décimal signifie déterminer un nombre plus petit et un nombre plus grand.
On cherche à encadrer le nombre 4,257. On va le mettre entre un nombre plus petit et un nombre plus grand. Un encadrement possible est :
2{,}1 \lt 4{,}257 \lt 7{,}8
Il existe une infinité de possibilités pour encadrer un nombre décimal.
On peut également encadrer le nombre 4,257 d'autres manières :
- 1\lt4{,}257\lt12
- 1{,}05\lt4{,}257\lt4{,}31
- 3{,}999\lt4{,}257\lt100\ 000
Encadrement à l'unité
Un encadrement est dit à l'unité lorsque le nombre de gauche est le plus grand entier possible et celui de droite le plus petit entier possible.
5 \lt 5{,}342 \lt 6 est un encadrement à l'unité du nombre 5,342.
Encadrement au dixième
Un encadrement est dit au dixième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à un chiffre après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à un chiffre après la virgule possible.
5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 est un encadrement au dixième du nombre 5,342.
Encadrement au centième
Un encadrement est dit au centième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à deux chiffres après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à deux chiffres après la virgule possible.
5{,}34 \lt 5{,}342 \lt 5{,}35 est un encadrement au centième du nombre 5,342.
Placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée
On peut placer un nombre décimal sur une demi-droite graduée. Le nombre décimal permettant de repérer un point sur une demi-droite graduée s'appelle l'abscisse de ce point.
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur une demi-droite graduée est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.
L'abscisse du point A est égale à 1,4.
La valeur approchée, l'arrondi et la troncature
Dans des calculs impliquant des nombres entiers ou pour les comparer, on peut utiliser une valeur approchée, un arrondi ou une troncature d'un nombre décimal.
Valeur approchée
La valeur approchée d'un nombre est un nombre décimal est un nombre proche de la valeur exacte de ce nombre.
5 est une valeur approchée du nombre décimal 5,342.
- Dans un encadrement à l'unité, le nombre de gauche est appelé « valeur approchée à l'unité par défaut » et le nombre de droite est appelé « valeur approchée à l'unité par excès ».
- Dans un encadrement au dixième, le nombre de gauche est appelé « valeur approchée au dixième par défaut » et le nombre de droite est appelé « valeur approchée au dixième par excès ».
- Dans un encadrement au centième, le nombre de gauche est appelé « valeur approchée au centième par défaut » et le nombre de droite est appelé « valeur approchée au centième par excès ».
Dans l'encadrement au dixième 5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 :
- 5,3 est la valeur approchée au dixième par défaut du nombre 5,342 ;
- 5,4 est la valeur approchée au dixième par excès du nombre 5,342.
Arrondi à un rang donné
On appelle arrondi à un rang donné d'un nombre décimal, le nombre décimal dont les chiffres situés après le rang sont des 0 et qui est le plus proche du nombre de départ.
L'arrondi à l'unité du nombre 32,87 est égal à 33.
Pour arrondir un nombre décimal à un rang donné, on observe le chiffre du rang suivant.
- Si le chiffre suivant est supérieur ou égal à 5, on arrondit par excès.
- Si le chiffre suivant est strictement inférieur à 5, on arrondit par défaut.
- On cherche l'arrondi à l'unité du nombre 76,5. On a 6\gt5. Donc l'arrondi à l'unité est égal à 77.
- On cherche l'arrondi à l'unité du nombre 2,3. On a 3\lt5. Donc l'arrondi à l'unité est égal à 2.
Troncature à un rang donné
On appelle troncature à un rang donné d'un nombre décimal le nombre décimal obtenu en remplaçant par 0 tous les chiffres situés au-delà du rang donné.
On considère le nombre 32,875 :
- La troncature à l'unité du nombre 32,875 est égale à 32.
- La troncature au centième du nombre 32,875 est égale à 32,87.
La troncature et l'arrondi d'un nombre peuvent être égaux, mais ils ne le sont pas toujours.
- L'arrondi à l'unité du nombre 32,1 est 32 et la troncature est 32 également.
- L'arrondi à l'unité du nombre 32,6 est 33 et la troncature est 32.
Valeur approchée, arrondi et troncature ne sont pas la même chose.
On considère le nombre 56,87 :
- La troncature à l'unité de 56,87 est 56.
- L'arrondi à l'unité de 56,87 est 57.
- La valeur approchée à l'unité par défaut de 56,87 est 56.
- La valeur approchée à l'unité par excès de 56,87 est 57.
L'ordre de grandeur d'un nombre décimal
On peut parfois utiliser un ordre de grandeur d'un nombre décimal pour se donner une idée du résultat d'un calcul, notamment en calcul mental. Cela permet de vérifier rapidement qu'il n'y a pas d'erreur grossière.
Ordre de grandeur
Pour obtenir un ordre de grandeur d'un nombre décimal, on le remplace par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental.
Un ordre de grandeur du nombre 1,78 est 2. Ce nombre est facile à utiliser en calcul mental.
En remplaçant le nombre 1,78 par 2 dans la somme 5 + 1{,}78, on peut trouver un ordre de grandeur du résultat qui est 5 + 2 = 7.