On ne parlera ici que de nombres décimaux positifs, c'est-à-dire supérieurs ou égaux à 0.
Perspective historique sur la numération
Les nombres décimaux permettent d'effectuer des partages que ne permettent pas les nombres entiers.
Les hommes ont d'abord fractionné les nombres entiers, puis utilisé des fractions décimales, avant d'utiliser réellement des nombres décimaux.
Quelques repères historiques :
- Utilisation de fractions vers 2 500 avant J.-C. chez les Égyptiens. Ils utilisent principalement des fractions de numérateur égal à 1, mais on trouve également la fraction \dfrac{2}{3}.
- Vers 952, Ibrahim al-Uqlidisi, un savant arabe, propose d'utiliser des fractions décimales pour écrire les nombres. Il explique que sa notation sans dénominateur permet d'effectuer plus rapidement les multiplications et les divisions en passant par les puissances de 10 (non encore définies comme telles).
- Au Xe siècle, Muhammad al-Karkhi développe les fractions décimales et pose des règles de calcul qu'il applique pour donner une approximation à la solution irrationnelle de certaines équations.
- Le Perse Omar Khayyâm est l'un des premiers à accorder le statut de nombre à tout rapport de grandeurs.
- En 1427, sans avoir pris connaissance des travaux de ses prédécesseurs, le célèbre astronome de Samarkand, Jemshid al-Kashi, donne une définition des fractions décimales, expose leur théorie et montre comment décomposer toute fraction en somme de fractions décimales.
- C'est au Belge Simon Stevin (1548-1620) que l'on attribue la découverte des nombres décimaux, et ceci pour deux raisons. D'abord parce qu'il semble que Stevin ait conçu sa théorie indépendamment des travaux antérieurs réalisés par les savants arabes. Ensuite, parce que le système de Stevin s'est répandu très rapidement et a été adopté en une dizaine d'années.
Les nombres décimaux
Fraction décimale
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 1 ; 10 ; 100 ; 1000 ; etc.
\dfrac{3}{10} et \dfrac{15}{1\ 000} sont des fractions décimales.
\dfrac{2}{15} n'est pas une fraction décimale.
Nombre décimal
On appelle nombre décimal tout nombre pouvant s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.
Le nombre 15,625 peut également s'écrire \dfrac{15\ 625}{1\ 000}. C'est un nombre décimal.
En écrivant cette fraction décimale comme la somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1, on obtient la partie entière du nombre initial et une fraction pouvant s'écrire sous la forme d'un nombre à virgule en utilisant le tableau ci-dessous :
On écrit alors le nombre décimal sous la forme d'un nombre à virgule grâce au tableau précédent. On appelle partie entière la partie située avant la virgule et partie décimale le nombre obtenu en soustrayant au nombre sa partie entière.
Dans le nombre 15,265, la partie entière est 15 et la partie décimale est 0,265.
Nom des chiffres dans la partie décimale
- Le premier chiffre de la partie décimale est appelé dixième.
- Le deuxième chiffre de la partie décimale est appelé centième.
- Le troisième chiffre de la partie décimale est appelé millième.
Dans le nombre 15,932 :
- Le chiffre 9 est le chiffre des dixièmes.
- Le chiffre 3 est le chiffre des centièmes.
- Le chiffre 2 est le chiffre des millièmes.
On peut ajouter autant de 0 que l'on souhaite à la suite de la partie décimale sans changer la valeur du nombre. Il existe donc une infinité de manières d'écrire un nombre décimal, mais on utilise la plus simple : celle dont la partie décimale ne se termine pas par un 0.
Le nombre 129,56 peut aussi s'écrire 129,560 ; 129,5600 ; etc.
Un nombre entier est un nombre décimal particulier : sa partie décimale est égale à 0. On écrit donc les nombres entiers sans leur partie décimale.
3 = 3{,}0 = 3{,}00 = 3{,}000
Comparer, ranger, placer
Comparaison et encadrement de nombres décimaux
Comparaison de nombres décimaux
Comparer deux nombres décimaux signifie déterminer lequel est le plus grand (ou le plus petit), ou bien s'ils sont égaux.
- Si le nombre a est plus petit que le nombre b, on dit que a est strictement inférieur à b et on note a \lt b.
- Si le nombre a est plus grand que le nombre b, on dit que a est strictement supérieur à b et on note a \gt b.
4 est plus petit que (strictement inférieur à) 7,8. On a donc :
4 \lt 7{,}8
Ordre croissant et décroissant
Ranger des nombres décimaux :
- par ordre croissant, c'est les ranger du plus petit au plus grand ;
- par ordre décroissant, c'est les ranger du plus grand au plus petit.
Les nombres suivants sont rangés par ordre croissant :
2{,}2 \lt 3{,}6 \lt 3{,}89 \lt 5{,}01 \lt 23 \lt 101
Encadrement
Encadrer un nombre signifie déterminer un nombre plus petit et un nombre plus grand.
On encadre le nombre 4 :
2{,}1 \lt 4 \lt 7{,}8
Il existe une infinité de possibilités pour encadrer un nombre.
On peut également encadrer le nombre 4 d'autres manières :
- 1\lt4\lt12
- 1{,}05\lt4\lt4{,}01
- 3{,}999\lt4\lt100\ 000
Précision de l'encadrement
- Un encadrement est dit à l'unité lorsque le nombre de gauche est le plus grand entier possible et celui de droite le plus petit entier possible.
- Un encadrement est dit au dixième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à un chiffre après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à un chiffre après la virgule possible.
- Un encadrement est dit au centième lorsque le nombre de gauche est le plus grand nombre à deux chiffres après la virgule possible et celui de droite le plus petit nombre à deux chiffres après la virgule possible.
5 \lt 5{,}342 \lt 6 est un encadrement à l'unité du nombre 5,342.
5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 est un encadrement au dixième du nombre 5,342.
5{,}34 \lt 5{,}342 \lt 5{,}35 est un encadrement au centième du nombre 5,342.
Valeurs approchées, troncature et arrondi
Valeurs approchées
- Dans un encadrement à l'unité, le nombre de gauche est appelé valeur approchée à l'unité par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée à l'unité par excès.
- Dans un encadrement au dixième, le nombre de gauche est appelé valeur approchée au dixième par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée au dixième par excès.
- Dans un encadrement au centième, le nombre de gauche est appelé valeur approchée au centième par défaut et le nombre de droite est appelé valeur approchée au centième par excès.
Dans l'encadrement au dixième 5{,}3 \lt 5{,}342 \lt 5{,}4 :
- 5,3 est la valeur approchée au dixième par défaut du nombre 5,342 ;
- 5,4 est la valeur approchée au dixième par excès du nombre 5,342.
Troncature
On appelle troncature à un rang donné d'un nombre décimal le nombre décimal obtenu en remplaçant par 0 tous les chiffres situés au-delà du rang donné.
- La troncature à l'unité du nombre 32,875 est égale à 32.
- La troncature au centième du nombre 32,875 est égale à 32,87.
Arrondi
On appelle arrondi à un rang donné d'un nombre décimal, le nombre décimal dont les chiffres situés après le rang sont des 0 et qui est le plus proche du nombre de départ.
L'arrondi à l'unité du nombre 32,87 est égal à 33.
Pour arrondir un nombre décimal à un rang donné, on observe le chiffre du rang suivant.
- Si le chiffre suivant est supérieur ou égal à 5, on arrondit par excès.
- Si le chiffre suivant est strictement inférieur à 5, on arrondit par défaut.
L'arrondi à l'unité du nombre 2,3 est égal à 2.
L'arrondi à l'unité du nombre 76,5 est égal à 77.
L'arrondi à l'unité du nombre 32,1 est 32 et la troncature est 32 également.
- La troncature à l'unité de 56,87 est 56.
- L'arrondi à l'unité de 56,87 est 57.
- La valeur approchée à l'unité par défaut de 56,87 est 56.
- La valeur approchée à l'unité par excès de 56,87 est 57.
Rangement sur une demi-droite graduée
Abscisse d'un point
L'abscisse d'un point situé sur une demi-droite graduée est le nombre permettant de repérer le point sur cet axe.
Pour déterminer l'abscisse du point A, on compte le nombre de graduations, sachant que chaque graduation correspond à une longueur de 0{,}1.
L'abscisse du point A est donc égale à 1{,}4.
Entre deux nombres décimaux, on peut toujours insérer d'autres nombres décimaux. Il suffit d'ajouter un ou plusieurs chiffres à leur partie décimale.
Entre 1,4 et 1,5 on trouve les nombres 1,41, 1,42, 1,43, etc.
Ordre de grandeur
Ordre de grandeur
Pour obtenir un ordre de grandeur d'un nombre décimal, on le remplace par un autre nombre à la fois proche et facile à utiliser en calcul mental.
Un ordre de grandeur du nombre 1,78 est 2. Ce nombre est facile à utiliser en calcul mental.
En remplaçant le nombre 1,78 par 2 dans la somme 5 + 1{,}78, on peut trouver un ordre de grandeur du résultat qui est 5 + 2 = 7.