Les triangles
Certains triangles possèdent des propriétés particulières, c'est le cas du triangle isocèle, du triangle équilatéral et du triangle rectangle.
Le triangle isocèle
Le triangle isocèle a deux côtés égaux.
Triangle isocèle
Un triangle est isocèle s'il possède deux côtés de même longueur.
Si le point A est le sommet commun aux deux côtés de même longueur, on dit que le triangle ABC est isocèle en A. Le point A est appelé « sommet principal » et le segment \left[ BC \right] est appelé « base du triangle ».
Le triangle DEF est isocèle en E. Le point E est le sommet principal et \left[ DF \right] est la base.
Sur la figure, on marque d'un même symbole les côtés de même longueur.
Dans un triangle isocèle :
- la médiatrice de la base est le seul axe de symétrie ;
- les angles à la base ont la même mesure.
Pour montrer qu'un triangle est isocèle, on peut donc montrer au choix :
- qu'il possède deux côtés de même longueur ;
- qu'il possède deux angles de même mesure ;
- qu'il possède un axe de symétrie.
Le triangle équilatéral
Le triangle équilatéral a trois côtés égaux.
Triangle équilatéral
Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur.
Le triangle MNP est équilatéral.
Dans un triangle équilatéral :
- les médiatrices des côtés sont les trois axes de symétrie ;
- les trois angles sont égaux et mesurent 60°.
Pour montrer qu'un triangle est équilatéral, on peut montrer au choix :
- qu'il possède trois côtés de même longueur ;
- qu'il possède trois angles de même mesure ;
- qu'il possède deux angles mesurant 60° ;
- qu'il possède trois axes de symétrie.
Le triangle rectangle
Le triangle rectangle a un angle droit.
Triangle rectangle
Un triangle est rectangle s'il possède deux côtés perpendiculaires.
Si le point A est le sommet de l'angle droit, on dit que le triangle ABC est rectangle en A. Le segment \left[ BC \right] est alors appelé « hypoténuse du triangle », il est le côté le plus grand.
Le triangle ABC est rectangle en A. \left[ BC \right] est son hypoténuse.
Les quadrilatères
Comme les triangles, certains quadrilatères possèdent des propriétés particulières. C'est le cas du losange, du parallélogramme, du rectangle et du carré.
Le losange
Le losange a quatre côtés de même longueur.
Losange
Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont de même longueur.
Le quadrilatère ABCD est un losange.
Dans un losange :
- les diagonales sont des axes de symétrie ;
- les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ;
- les angles opposés sont de même mesure ;
- les côtés opposés sont parallèles.
Pour montrer qu'un quadrilatère est losange, on peut montrer au choix :
- qu'il possède quatre côtés de même longueur ;
- que ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
Le parallélogramme
Le parallélogramme a ses côtés opposés parallèles.
Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles.
- Les droites (AB) et (CD) sont parallèles.
- Les droites (BC) et (AD) sont parallèles.
Le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
Le losange, le rectangle et le carré sont tous les trois des parallélogrammes.
Le rectangle
Le rectangle est un parallélogramme qui a quatre angles droits.
Rectangle
Un rectangle est un quadrilatère qui possède quatre angles droits.
- Son plus grand côté est sa longueur, généralement notée L.
- Son plus petit côté est sa largeur, généralement notée \ell.
Le quadrilatère ABDC est un rectangle de longueur L et de largeur \ell.
Les côtés opposés d'un rectangle sont de même longueur.
Le quadrilatère MNOP est un rectangle.
On a MN = PO et MP = NO.
Dans un rectangle :
- les côtés opposés sont parallèles ;
- les médiatrices des côtés sont des axes de symétrie ;
- les diagonales se coupent en leur milieu et sont de même longueur.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un rectangle, on peut montrer au choix :
- qu'il possède trois angles droits ;
- que ses diagonales sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
Le carré
Le carré est un parallélogramme qui a quatre côté de même longueur et quatre angles droits.
Carré
Un carré est un quadrilatère qui possède à la fois quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.
Le quadrilatère HIJK est un carré.
Un carré est à la fois un losange, un rectangle et un parallélogramme. Il possède donc les mêmes propriétés que le losange, le rectangle et le parallélogramme.
Pour montrer qu'un quadrilatère est un carré, il suffit de montrer que c'est un losange et un rectangle.
Les cercles
Un cercle de centre O est une figure qui a un rayon r. Tout segment de centre O est appelé diamètre de ce cercle.
Définition et propriétés d'un cercle
Un cercle de centre O et de rayon r est la figure formée de l'ensemble des points situés à une distance r du point O.
Cercle
Un cercle de centre O et de rayon r est la figure formée de l'ensemble des points situés à une distance r du point O.
Un cercle se trace à l'aide d'un compas.
- Si le point A vérifie OA=r, le point A appartient au cercle de centre O et de rayon r.
- Réciproquement, si le point A appartient au cercle de centre O et de rayon r, il vérifie OA=r.
Le cercle \mathcal{C} est le cercle de centre O et de rayon 5 unités.
Le point A vérifie OA=5 unités.
Donc le point A appartient au cercle \mathcal{C}.
Le rayon d'un cercle
Tout segment de longueur r ayant pour extrémité O est appelé rayon d'un cercle.
Rayon d'un cercle
Si le point A appartient au cercle de centre O, alors le segment \left[ OA \right] est un rayon de ce cercle.
Le diamètre d'un cercle
Tout segment de centre O est appelé diamètre d'un cercle.
Diamètre d'un cercle
Un diamètre est un segment joignant deux points du cercle et qui passe par le centre du cercle. Si \left[ MN \right] est un diamètre du cercle, on dit que les points M et N sont diamétralement opposés.
La longueur d'un diamètre est le double du rayon.
Le cercle \mathcal{C} est le cercle de centre O et de rayon [OA] avec OA=2 \text{ unités}.
[MN] est un diamètre du cercle \mathcal{C}.
Alors :
MN=2\times OA
MN=2\times 2
MN=4 \text{ unités}
