Les angles et les relations entre eux
Les angles sont des portions de plan délimitées par deux demi-droites de même origine. On peut les comparer les uns aux autres. Certaines figures possèdent des propriétés spécifiques concernant les angles.
Identifier un angle
Un angle est une portion de plan délimitée par deux demi-droites de même origine. Il se note avec les trois lettres recouvertes d'un chapeau.
Angle
Un angle est une portion du plan délimitée par deux demi-droites de même origine.
- Le point O, origine commune des demi-droites, est le sommet de l'angle.
- Les demi-droites \left[ OA \right) et \left[ OB \right) sont les côtés de l'angle.
On note un angle avec trois lettres recouvertes d'un chapeau (accent circonflexe allongé) :
- La lettre centrale est le sommet de l'angle.
- Les deux autres lettres sont des points appartenant à chacun des deux côtés de l'angle.
Un angle peut se lire et se noter dans les deux sens, mais la lettre centrale est toujours le sommet.
L'angle tracé ci-dessus se note \widehat{AOB} ou \widehat{BOA}.
Les relations entre les angles
On peut comparer les angles entre eux grâce à la comparaison de leurs mesures. Les figures usuelles de la géométrie possèdent des propriétés concernant les angles.
La comparaison
Les mesures de deux angles permet de les comparer entre eux.
Des angles de même mesure
On dit que deux angles sont deux angles de même mesure s'il y a le même écartement entre les deux côtés de chacun des deux angles.
Dans le parallélogramme ci-dessus, les angles \widehat{ABC} et \widehat{ADC} sont de même mesure.
Comme pour les longueurs, les angles de même mesure sont identifiés par un même symbole sur une figure.
Pour comparer la mesure de deux angles, on peut les superposer.
On peut pour cela :
- utiliser un calque sur lequel on reproduit un des deux angles avant de placer le calque par dessus l'autre angle ;
- créer un gabarit d'un des deux angles pour le reproduire par dessus l'autre angle (avec un côté commun).
Sur la figure suivante, en superposant deux angles, on peut remarquer que l'angle rouge est plus grand que le vert.
Les figures particulières
Les figures usuelles de la géométrie possèdent des propriétés concernant les égalités de mesure des angles.
Un triangle isocèle possède deux angles de même mesure.
Un triangle équilatéral possède trois angles de même mesure.
Un parallélogramme a ses angles opposés de même mesure.
La mesure d'un angle en degrés
L'unite de mesure de référence d'un angle est le degré. Il se mesure à l'aide d'un rapporteur.
- L'unité de mesure d'un angle est le degré (°).
- Un angle se mesure à l'aide d'un rapporteur, qui est gradué de 0° à 180°.
- On confond le nom de l'angle avec sa mesure.
La notation \widehat{ABC} représente à la fois l'angle de sommet B et sa mesure.
Pour bien choisir son rapporteur, il faut veiller à ce qu'il soit gradué de 0° à 180° dans les deux sens.
Le rapporteur sert à mesurer un angle ou construire un angle de mesure donnée.
Dans les deux cas, il faut bien placer le sommet de l'angle au centre du rapporteur et aligner un côté de l'angle avec une des graduations 0°.
Pour mesurer un angle donné :
- on place le centre du rapporteur au sommet de l'angle,
- on aligne un des côtés de l'angle avec une des graduations 0°,
- on lit sur la graduation dont on vient de choisir le 0° la valeur correspondant au deuxième côté de l'angle.
On cherche à mesurer l'angle \widehat{MNP} ci-dessous.
On obtient :
\widehat{MNP}=48{,}4°.
Pour construire un angle de mesure donnée,
- on trace une demi-droite qui représentera un côté,
- on place le centre du rapporteur à l'extrémité de la demi-droite,
- on aligne une des graduations 0° sur la demi-droite (cela fixe la graduation choisie),
- on place une marque sur la graduation choisie correspondant à la mesure souhaitée pour l'angle,
- on retire le rapporteur et on relie la marque avec l'extrémité de la première demi-droite.
On cherche à tracer un angle \widehat{AOB} de 40°.
Les types d'angles et les angles particuliers
Il existe plusieurs types d'angles : l'angle aigu, l'angle obtus, l'angle rentrant ou l'angle saillant. Certains angles particuliers : l'angle droit, l'angle plat et l'angle nul.
Les différents types d'angles
Angle aigu
Un angle aigu est un angle dont la mesure est comprise entre 0° et 90°. Il est plus petit qu'une angle droit.
Angle obtus
Un angle obtus est un angle dont la mesure est comprise en 90° et 180°. Il est plus grand qu'un angle droit.
Angle saillant
Un angle saillant est un angle de mesure comprise entre 0° et 180°.
Tous les angles cités précédemment sont saillants.
Angle rentrant
Un angle rentrant est un angle de mesure comprise entre 180° et 360°.
Les angles particuliers
Angle droit
Un angle droit est un angle dont les côtés sont perpendiculaires. Il mesure 90°.
Pour construire un angle droit, on peut utiliser un rapporteur.
On peut également utiliser une équerre.
Avec une équerre, on construit un angle droit de façon simple.
Un rectangle et un carré possèdent quatre angles droits.
Angle plat
Un angle plat est un angle dont les côtés sont situés dans le prolongement l'un de l'autre de part et d'autre du sommet. Il mesure 180°.
Angle nul
Un angle nul est un angle dont les côtés sont superposés. Il mesure 0°.
On peut être amené à estimer si un angle est aigu, droit ou obtus.
Pour confirmer ou infirmer une estimation, on peut utiliser un rapporteur.
On peut également utiliser une équerre qui permet de vérifier si un angle est droit.
Elle nous permet donc de comparer l'angle choisi avec un angle droit.
L'angle \widehat{AOB} ci-dessous paraît obtus.
On peut utiliser une équerre pour le vérifier.
L'équerre confirme que l'angle \widehat{AOB} est bien obtus.