Les aires et les unités d'aire
L'aire d'une figure
Aire d'une figure
L'aire d'une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d'aire donnée.
On prend pour unité d'aire l'aire du carré rouge. On peut alors calculer l'aire de la surface bleue : elle est de 13 unités d'aire.
La figure 1 a un périmètre égal à 10 alors que, pour la figure 2, celui-ci vaut environ 10,5. Pourtant, l'aire est la même pour chaque figure : 4 carreaux.
Les unités permettant d'exprimer les aires
L'aire se mesure en général en mètre carré (m2). Un mètre carré correspond à l'aire d'un carré d'un mètre de côté.
Suivant les cas, on utilise les unités multiples (ou sous-multiples) du mètre carré :
- Le kilomètre carré (km2) est égal à 1 000 000 mètres carrés.
- L'hectomètre carré (hm2) est égal à 10 000 mètres carrés.
- Le décamètre carré (dam2) est égal à 100 mètres carrés.
- Le décimètre carré (dm2) est égal à 0,01 mètre carré.
- Le centimètre carré (cm2) est égal à 0,0001 mètre carré.
- Le millimètre carré (mm2) est égal à 0,000001 mètre carré.
5 dam² = 500 m²
7 cm² = 0,0007 m²
Les conversions entre les différents multiples du mètre carré se font à l'aide d'un tableau de conversion :
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0, | 0 | 0 | 0 | 1 | 4 | 5 | |||||||
145 m2 = 0,000145 km2
| km2 | hm2 | dam2 | m2 | dm2 | cm2 | mm2 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 5 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||||
25 001 m2 = 250 010 000 cm2
Les aires des figures usuelles
L'aire d'un carré
L'aire d'un carré de côté c est égale à :
\mathcal{A} = c\times c
L'aire de ce carré est égale à 5 \times 5 = 25 cm2.
L'aire d'un rectangle
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est égale à :
\mathcal{A} = L \times \ell
L'aire de ce rectangle est égale à 3 \times 5 = 15 cm2.
L'aire d'un triangle
Hauteur
On appelle hauteur issue du sommet A dans un triangle ABC la droite passant par A et perpendiculaire à la droite \left( BC \right). On parle également de la hauteur relative au côté \left[ BC\right].
La droite \left( AH \right) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
La droite \left( AH \right) est la hauteur du triangle ABC issue du sommet A.
Pied de la hauteur
On appelle pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC le point H, intersection de la hauteur issue de A et de la droite \left( BC\right).
L'aire d'un triangle dont un des côtés a pour longueur b et pour hauteur correspondante h est égale à :
A=\dfrac{b\times h}{2}
Dans le triangle ci-dessus, si l'on choisit \left[ BC \right] comme base, alors la hauteur correspondante est \left[ AH \right]. L'aire du triangle ABC vaut donc :
A=\dfrac{BC\times AH}{2}
A=\dfrac{8\times 3}{2}
A=12 cm2
Dans le cas d'un triangle rectangle, la hauteur relative à un côté de l'angle droit est l'autre côté de l'angle droit.
L'aire de ce triangle rectangle est égale à :
\left(3 \times 5\right) \div 2 = 15 \div 2 = 7{,}5 cm2
L'aire d'un disque
L'aire d'un disque de rayon r est égale à :
\mathcal{A} = r \times r \times \pi
L'aire de ce disque est égale à 3 \times 3 \times \pi = 9 \times \pi cm2.