Préambule au théorème de Pythagore
Le vocabulaire dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé « hypoténuse ». Les côtés qui forment l'angle droit sont appelés « côtés adjacents de l'angle droit ».
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle on appelle « hypoténuse » le côté opposé à l'angle droit.
Le segment [AC] est l'hypoténuse du triangle ABC rectangle en B.
Côtés adjacents d'un angle droit
Dans un triangle rectangle, les côtés adjacents d'un angle droit sont les côtés qui forment cet angle droit.
Le triangle ABC est rectangle en B. Les côtés adjacents à l'angle \widehat{ABC} sont les segments [AB] et [BC].
Les carrés parfaits et la racine carrée d'un nombre
Les carrés des premiers entiers naturels sont appelés « carrés parfaits ». Le nombre positif dont le carré est a est appelé « racine carrée de a ».
Les carrés parfaits
Un carré parfait est le carré d'un autre entier naturel.
Carré parfait
Un entier est appelé « carré parfait » s'il est le carré d'un autre entier naturel.
64 est un carré parfait car 8^2=64.
Les premiers carrés parfaits strictement positifs sont :
1 car 1^2=1 ;
4 car 2^2=4 ;
9 car 3^2=9 ;
16 car 4^2=16 ;
25 car 5^2=25 ;
36 car 6^2=36 ;
49 car 7^2=49 ;
64 car 8^2=64 ;
81 car 9^2=81 ;
100 car 10^2=100 ;
121 car 11^2=121 ;
144 car 12^2=144.
La racine carrée d'un nombre
La racine carrée d'un nombre a est le nombre positif dont le carré est a.
Racine carrée
Soit a un nombre positif.
On appelle « racine carrée » de a le nombre positif dont le carré est a.
On le note \sqrt{a} et on a :
\left( \sqrt{a} \right)^2 = a
\sqrt{81} est le nombre positif dont le carré est 81.
On sait que 9^2=81, donc \sqrt{81}=9.
Pour les racines carrées que l'on n'obtient pas directement à partir des tables de multiplication, c'est-à-dire les racines carrées des carrés parfaits, on utilise la calculatrice et la touche \sqrt{}. On obtient alors une valeur approchée du résultat dans la plupart des cas.
On reprend l'exemple précédent.
La calculatrice donne :
\sqrt{50}\approx 7{,}071
La racine carrée d'un carré parfait est donc un entier.
Le théorème de Pythagore
D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Ce théorème permet de trouver la longueur d'un côté du triangle quand on connaît déjà deux de ses longueurs, ou bien de prouver que le triangle n'est pas rectangle.
L'énoncé du théorème de Pythagore
Soit ABC un triangle rectangle en C, alors AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
Autrement dit, soit ABC un triangle rectangle en C, alors :
AB^{2}=AC^{2} + BC^{2}
Dans le triangle ABC rectangle en C :
AB^2=AC^2 +BC^2
AB^2=6^2 +8^2=36+64=100
On considère un triangle rectangle de côtés a, b et c, avec c la longueur de l'hypoténuse.
On cherche donc à montrer que a^2+b^2=c^2.
Étape 1 :
On part d'un triangle rectangle de côtés a, b et c (l'hypoténuse) et d'un carré bleu de côté (a + b).
On construit quatre fois le même triangle rectangle bleu et on les positionne comme ci-dessus.
La figure restante est un losange car ses quatre côtés sont de même longueur.
Comme la somme des mesures des angles aigus des triangles bleus est égale à 90°, chaque angle du losange a pour mesure 180-90, soit 90°. La figure verte est donc un carré.
L'aire du carré est égale à c^2.
Étape 2 :
On déplace deux triangles bleus afin de former des rectangles de dimensions a et b.
Les deux zones vertes correspondent à deux carrés, un de côté b, l'autre de côté a. La somme de leurs aires est donc égale à a^2+b^2.
La surface bleue restante a la même aire que la surface verte de l'étape 1.
Ainsi, on obtient :
a^2=b^2+c^2
L'utilisation du théorème de Pythagore pour déterminer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
Quand on connaît les longueurs de deux des côtés d'un triangle rectangle, le théorème de Pythagore permet de déterminer la longueur du troisième côté du triangle.
Le théorème de Pythagore permet de déterminer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle, lorsqu'on connaît les longueurs des deux autres côtés.
On obtient le même résultat que la longueur cherchée : soit celle de l'hypoténuse, soit celle d'un autre côté du triangle rectangle.
On considère le triangle ABC ci-dessous.
Le triangle ABC est rectangle en C.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
AB^2 = AC^2 + BC^2
Donc :
AC^2 = AB^2-BC^2
AC^2=10^2-8^2=100-64=36
Ainsi :
AC=\sqrt{36}
AC=6\text{ cm}
Pour déterminer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle en utilisant le théorème de Pythagore, la dernière étape du calcul consiste toujours en la recherche d'un nombre dont le carré est une valeur connue.
Dans l'exemple, on connaissait un nombre dont le carré est le nombre de l'avant-dernière étape. Mais ce ne sera pas toujours le cas.
Soit le triangle ABC rectangle A.
D'après le théorème de Pythagore, on a :
AB^2=AC^2+BC^2
Donc :
AB^2=1^2+2^2=1+4=5
5 n'est pas un carré parfait.
On obtient donc :
AB=\sqrt{5}
AB\approx2{,}24\text{ cm}
L'utilisation du théorème de Pythagore pour montrer qu'un triangle n'est pas rectangle
Le théorème de Pythagore permet de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
Le théorème de Pythagore permet également de montrer qu'un triangle n'est pas rectangle.
On considère un triangle ABC tel que AB=6, BC=7 et CA=8. On cherche à savoir s'il est rectangle.
Si le triangle ABC est rectangle, cela ne peut être qu'en B car [CA] est le plus long côté.
On a d'une part :
CA^2=8^2=64
D'autre part :
AB^2+BC^2=6^2+7^2=36+49=85
On a donc :
AB^2+BC^2\neq CA^2
D'après le théorème de Pythagore, si le triangle ABC était rectangle en B, on aurait :
AB^2+BC^2=CA^2
Ce n'est pas le cas. Le triangle ABC n'est donc pas rectangle.
La réciproque du théorème de Pythagore
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, dans un triangle, si le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle d'hypoténuse le plus long côté.
Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle, si le carré de la longueur du plus long côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle d'hypoténuse le plus long côté.
Autrement dit, dans un triangle ABC, si BC^2=AB^2+AC^2, alors le triangle ABC est rectangle en A d'hypoténuse [BC].
On a d'une part :
BC^2=5^2=25
D'autre part :
AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25
On a donc :
BC^2=AB^2+AC^2
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.