On considère un triangle ABC rectangle en A :
- Le côté \left[ AC \right] est appelé côté adjacent à l'angle \widehat{ACB}.
- Le côté \left[ AB \right] est appelé côté opposé à l'angle \widehat{ACB}.
- Le côté \left[ BC \right] est appelé l'hypoténuse du triangle ABC.
Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
Cosinus
Cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :
\cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \cos\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
- \cos\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des côtés du triangle.
- Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
- Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
Sinus
Sinus
Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :
\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \sin\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}
- \sin\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}
Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des côtés du triangle.
- Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
- Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.
Tangente
Tangente
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :
\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
- \tan\left(\widehat{ABC}\right)=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}
- \tan\left(\widehat{ACB}\right)=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}
La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur d'un des côtés du triangle.
- La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure à 1 comme le sinus et le cosinus.
- La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.
Déterminer la mesure en degrés d'un angle
Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de cet angle à l'aide des fonctions cos^{-1}, sin^{-1} et tan^{-1} de la calculatrice.
Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.
Relations trigonométriques
Pour tout angle aigu \alpha, on a :
\left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2+\left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2=1
On considère un angle \alpha tel que \cos\left(\alpha\right)=\dfrac{3}{4}. On peut alors écrire :
cos^2\left(\alpha\right)+sin^2\left(\alpha\right)=1
Soit :
sin^2\left(\alpha\right)=1-cos^2\left(\alpha\right)
sin^2\left(\alpha\right)=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16}
Pour simplifier les notations, on peut noter cos^2\left(\alpha\right) à la place de \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2, et sin^2\left(\alpha\right) à la place de \left(\sin\left(\alpha\right)\right)^2.
Pour tout angle aigu \alpha non droit :
\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\sin\left(\alpha\right)}{\cos\left(\alpha\right)}
On considère un angle \alpha tel que :
- \cos\left(\alpha\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
- \sin\left(\alpha\right)=\dfrac{1}{2}
On a :
\tan\left(\alpha\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}={\dfrac{1}{2}}\times{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}