Définition d'une translation
La translation est une transformation du plan qui correspond à un glissement rectiligne.
Translation
Soient A et B deux points du plan.
On appelle « translation de A vers B » le glissement rectiligne qui transforme A en B :
- de direction, la droite \left( AB \right) ;
- de sens, de A vers B ;
- de longueur AB.
La figure F' est l'image de la figure F par la translation qui transforme A en B.
Translation de vecteur \overrightarrow{AB}
On appelle également « translation de vecteur \overrightarrow{AB} » la translation qui transforme A en B.
Attention à ne pas oublier la flèche au-dessus de AB.
Par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}, le cercle de centre C passant par D a pour image le cercle de centre C' passant par D'.
Les propriétés de conservation de la translation
La translation conserve les propriétés de la figure d'origine, c'est-à-dire l'alignement, les longueurs, le parallélisme, les mesures d'angles et les aires.
Une figure et son image par une translation sont superposables.
On considère le parallélogramme ACDE et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du parallélogramme ACDE par la translation qui transforme A en B est le parallélogramme BC'D'E'.
Les deux figures BC'D'E' et ACDE sont superposables.
La translation conserve les longueurs.
On considère le parallélogramme ACDE et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du parallélogramme ACDE par la translation qui transforme A en B est le parallélogramme BC'D'E'.
- AC = BC' = DE = D'E'
- CD = C'D' = EA = E'B
La translation conserve le parallélisme.
On considère le parallélogramme ACDE et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du parallélogramme ACDE par la translation qui transforme A en B est le parallélogramme BC'D'E'.
- (AC)//(ED) et (BC)'//(D'D')
- (CD)//(AE) et (C'D')'//(E'B)
La translation conserve les angles.
On considère le parallélogramme ACDE et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du parallélogramme ACDE par la translation qui transforme A en B est le parallélogramme BC'D'E'.
- \widehat{ACD}=\widehat{DEA}=\widehat{BC'D'}=\widehat{D'EB}
- \widehat{EAC}=\widehat{CDE}=\widehat{D'BC'}=\widehat{C'D'E'}
La translation conserve les aires.
On considère le parallélogramme ACDE et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du quadrilatère ACDE par la translation qui transforme A en B est le quadrilatère BC'D'E'.
Soient A l'aire du quadrilatère ACDE et A' l'aire du quadrilatère BC'D'E'.
On a A = A'.
La translation conserve l'alignement.
On considère le segment [AD] passant par C et le point B représentés sur le schéma ci-dessous.
L'image du segment [AD] par la translation qui transforme A en B est le segment [BD'].
Le segment [BD'] passe par l'image du point C par la translation qui transforme A en B. Les points B, C' et D' sont alignés.
Aucun point du plan n'est invariant par une translation.
L'effet de la translation sur les figures géométriques
L'image d'un segment par translation est un segment de même longueur parallèle au premier. L'image d'une droite est une droite parallèle à la première et l'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
L'image d'un segment par une translation est un segment parallèle au premier et de même longueur.
L'image du segment \left[ MN \right] par la translation qui transforme A en B est le segment [M'N'].
On a [MN] // [M'N'] avec MN = M'N'.
L'image d'une droite est une droite parallèle à la première.
L'image de la droite d par la translation qui transforme A en B est la droite d'.
On a d // d'.
L'image d'un cercle est un cercle de même rayon.
L'image du segment du cercle \mathcal{C} par la translation qui transforme A en B est le cercle \mathcal{C}'.
Les cercles \mathcal{C} et \mathcal{C}' ont le même rayon.
La translation et les parallélogrammes
La construction de l'image d'un point par une translation fait apparaître une configuration caractéristique de la translation : le point et son image forment un parallélogramme avec les deux points définissant la translation.
Si le point M' est l'image du point M par la translation qui transforme A en B, alors ABM'M est un parallélogramme.
Le point M' est l'image du point M par la translation qui transforme A en B.
Le quadrilatère ABM'M est donc un parallélogramme.
On peut construire un parallélogramme à partir de deux côtés consécutifs à l'aide d'un compas.
On peut donc construire l'image d'un point par une translation à l'aide d'un compas.
On construit le point M' image du point M par la translation qui transforme A en B.
L'image d'une figure par translation
La construction d'une figure géométrique par translation se fait à partir de la construction des points de cette figure par translation. C'est notamment le cas des segments, des droites et des cercles.
Pour tracer l'image d'un segment, on trace les images des extrémités et on les relie ensuite.
On cherche à construire l'image du segment [MN] par la translation qui transforme A en B.
Pour tracer l'image d'une droite, on trace l'image de deux points de la droite, puis on trace la droite passant par les deux points images. Une droite est invariante par translation si elle a la même direction que la translation.
On cherche à construire l'image de la droite (d) par la translation qui transforme A en B.
Pour tracer l'image d'un cercle, on trace l'image de son centre, puis on trace le cercle ayant pour centre le point image et de même rayon que le premier cercle.
Pour construire l'image d'une figure par une translation, on peut utiliser les propriétés précédentes pour le faire avec des instruments de géométrie. On peut également le faire de façon numérique en utilisant un logiciel de géométrie.
On cherche à construire l'image de la figure \mathcal{F} par la translation qui transforme A en B avec le logiciel GeoGebra.
On retrouve des translations dans de nombreux pavages du plan.
Les flèches de la figure représentée ci-dessous correspondent à des translations permettant de laisser le pavage invariant.
