Le symétrique d'une figure et les propriétés de la symétrie axiale
Le symétrique d'une figure
Deux figures sont symétriques par rapport à une droite \left( d \right) si elles sont superposables par pliage le long de cette droite.
Ces deux figures sont symétriques par rapport à la droite \left( d \right).
Symétrie axiale
Lorsque deux figures sont symétriques par rapport à une droite (d), on dit qu'elles sont symétriques par la symétrie axiale (ou orthogonale) d'axe \left( d \right) et la droite \left( d \right) est appelée « axe de symétrie ».
Dans l'exemple précédent, les deux figures sont symétriques par la symétrie axiale d'axe (d).
Les propriétés de la symétrie axiale
Deux figures symétriques ont la même forme et les mêmes dimensions. Elles ont donc le même périmètre et la même aire (pour les surfaces).
En particulier, dans le cadre d'une symétrie axiale :
- Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur.
- Le symétrique d'une demi-droite est une demi-droite.
- Le symétrique d'une droite est une droite.
- Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure.
- Le symétrique d'un cercle est un cercle de même rayon.
- Les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés.
On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs, les angles, les aires et l'alignement.
Les figures \mathcal{F}_1 et \mathcal{F}_2 ci-dessous sont symétriques par rapport à la droite (d).
Elles ont les mêmes dimensions et la même aire.
Le point M', symétrique d'un point M par une symétrie axiale d'axe (d), est le point du plan vérifiant que :
- les droites (d) et (MM') sont perpendiculaires ;
- la droite (d) coupe le segment [MM'] en son milieu.
Pour construire le symétrique M' d'un point M par une symétrie axiale d'axe (d) :
- on trace la droite (d') perpendiculaire à la droite (d) et passant par le point M ;
- si H est le point d'intersection des droites (d) et (d'), alors on place le point M' de la droite (d') tel que HM'=HM et les points M et M' sont de part et d'autre de la droite (d).
Pour construire le symétrique d'une figure, on construit le symétrique de chacun des points qui la définissent et on reproduit la forme.
Pour tracer le symétrique d'une figure \mathcal{F} par rapport à une droite (d), il suffit donc de :
- repérer les points permettant de définir la figure;
- tracer les symétriques des points précédents par rapport à la droite (d) ;
- reconstruire la même figure que la figure initiale à partir des nouveaux points.
- Pour tracer le symétrique du segment [CD] par rapport à la droite (d), il suffit de tracer les symétriques C' et D' des points C et D, puis de tracer le segment [C'D'].
- Pour tracer le symétrique de la demi-droite [EF) par rapport à la droite (d), il suffit de tracer les symétriques E' et F' des points E et F, puis de tracer la demi-droite [E'F').
- Pour tracer le symétrique du cercle de centre G passant par H, il suffit de tracer les symétriques G' et H' des points G et H, puis de tracer le cercle de centre G' passant par H'.
Les axes de symétrie d'une figure
Les axes de symétrie d'un polygone
Axe de symétrie
La droite \left( d \right) est un axe de symétrie d'une figure si les deux parties de cette figure se superposent par pliage le long de la droite.
La droite \left( d \right) est un axe de symétrie de la figure.
Une figure peut avoir plusieurs axes de symétrie ou, au contraire, aucun.
La figure 1 est un carré et possède 4 axes de symétrie.
La figure 2 est quelconque et ne possède aucun axe de symétrie.
Les axes de symétrie des figures usuelles sont les suivants :
Compléter une figure \mathcal{F} par symétrie axiale d'axe (d) signifie compléter la figure \mathcal{F} pour que la droite (d) soit un axe de symétrie de la figure complétée.
L'axe de symétrie d'un segment : la médiatrice
Médiatrice d'un segment
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu.
La droite \left( d \right) est la médiatrice du segment \left[ AB \right].
La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
Autrement dit, si \left( d \right) est la médiatrice du segment \left[ AB \right], le point B est le symétrique du point A par rapport à (d) (et inversement).
La droite (d) est la médiatrice du segment [AB].
Le point B est le symétrique de A par rapport à la droite \left( d \right).
Si un point est sur la médiatrice d'un segment, il est à égale distance des extrémités de ce segment.
Le point C appartient à la médiatrice \left( d \right) du segment \left[ AB \right]. Donc CA = CB.
Inversement, si un point est à égale distance des extrémités d'un segment, il appartient à la médiatrice de ce segment.
On remarque que CA = CB. Le point C appartient donc à la médiatrice du segment \left[AB\right].
