La représentation dans une sphère
Il y a plusieurs façons de repérer un point sur une sphère. On peut assimiler le globe à une sphère : on représente le pôle Nord et le pôle Sud par deux points N et S diamétralement opposés. On distingue les méridiens et les parallèles, ainsi que deux coordonnées géographiques : la latitude et la longitude.
Les méridiens
Les méridiens sont des demi-cercles de diamètre [NS]. Le méridien de Greenwich est le méridien origine.
Méridien
Un méridien est un demi‑cercle de diamètre [NS].
Méridien de Greenwich
Le méridien origine est le méridien de Greenwich.
C'est le méridien qui passe à travers l'Observatoire royal de Greenwich, à Greenwich (banlieue de Londres), au Royaume-Uni.
Les parallèles
Les parallèles sont des sections de la sphère par un plan perpendiculaire (NS). L'équateur est le parallèle origine.
Parallèle
La section de la sphère par un plan perpendiculaire à (NS) est un cercle appelé un « parallèle ».
Équateur
Le parallèle origine est appelé « équateur ».
Il est situé à égale distance entre le pôle Nord et le pôle Sud.
Les coordonnées géographiques d'un point
On assimile la Terre à une sphère. On peut repérer un point M de sa surface par deux coordonnées géographiques correspondant à des mesures d'angles : sa latitude et sa longitude.
Latitude
On assimile la Terre à une sphère.
La latitude du point M est la mesure de l'angle, ayant pour sommet le centre de la sphère, compris entre l'équateur et le parallèle sur lequel se trouve le point M.
La latitude de la ville de New York est 41° nord.
Longitude
On assimile la Terre à une sphère.
La longitude du point M est la mesure de l'angle ayant pour sommet le centre de la sphère et compris entre le méridien de Greenwich et le méridien sur lequel se trouve le point M.
La longitude de la ville de New York est 74° ouest.
Les solides
Il existe de nombreuses façons de représenter les solides. On distingue la perspective cavalière et les patrons. La perspective cavalière permet de visualiser une figure en trois dimensions à plat, tandis que les patrons sont des représentations permettant de construire le solide, lorsque c'est possible. On appelle « section d'un solide par un plan » l'intersection des deux objets. Selon le solide, la forme des sections peut être très différente : c'est notamment le cas du pavé droit, de la pyramide, du cylindre de révolution, du cône de révolution et de la sphère.
Le pavé droit
Un pavé droit est un solide dont les six faces sont des rectangles. On peut le représenter en perspective cavalière, sous forme de patron, ou le découper en sections.
Les représentations du pavé droit
Pour tracer un pavé droit en perspective cavalière, il faut faire attention aux droites parallèles, ainsi qu'aux arêtes visibles et cachées. Le patron d'un pavé droit est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles.
Lorsqu'on représente un pavé droit en perspective cavalière :
- Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
- Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
Le schéma suivant est une représentation en perspective cavalière d'un pavé droit ABCDEFGH :
Le patron d'un pavé droit est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est toujours formé de trois rectangles qui apparaissent deux fois chacun, c'est-à-dire de six rectangles. Ces rectangles correspondent aux faces du pavé droit. Elles ne peuvent comporter une arête commune sur le patron que si elles ont une arête commune sur le pavé.
Les sections du pavé droit
La section d'un pavé droit peut être obtenue par un plan parallèle à une face ou bien par un plan parallèle à une arête.
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face.
Le schéma suivant représente la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face :
La section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle.
Le schéma suivant représente la section d'un pavé droit par un plan parallèle à une arête :
La pyramide
Une pyramide est un solide constitué d'une base polygonale et dont les faces latérales sont des triangles. On peut la représenter en perspective cavalière, sous forme de patron ou la découper en sections.
Les représentations de la pyramide
Pour tracer une pyramide en perspective cavalière, il faut faire attention aux droites parallèles, ainsi qu'aux arêtes visibles et cachées. Le patron d'une pyramide est toujours formé des faces de la pyramide qui sont le polygone de base et des triangles qui forment les faces latérales de la pyramide.
Une représentation en perspective cavalière d'une pyramide est une figure composée de plusieurs polygones qui n'ont pas les dimensions réelles, mais qui suivent les règles suivantes :
- Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
- Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
Le polyèdre ABCDEF est une pyramide de base ABCDE.
Les faces latérales sont les triangles ABF, BCF, CDF,DEF et EAF qui ont le point F en commun.
Le point F est le sommet de la pyramide.
La pyramide ABCDEF de sommet F est représentée en perspective cavalière sur le schéma suivant :
Le patron d'une pyramide est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est toujours formé des faces de la pyramide qui sont le polygone de base et des triangles qui forment les faces latérales de la pyramide.
Ces polygones ne peuvent comporter une arête commune sur le patron que si ils ont une arête commune sur la pyramide.
Le schéma suivant représente le déploiement d'un patron de pyramide, en partant de la pyramide représentée en perspective cavalière pour arriver au patron :
Les sections de la pyramide
La section d'une pyramide peut être obtenue par un plan parallèle à la base.
La section d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base.
Le schéma suivant représente la section d'une pyramide par un plan parallèle à sa base :
La section et la base du solide de la pyramide sont dites « homothétiques ». La section obtenue est une réduction de la base.
Dans le cas d'une pyramide, chaque arête de la section est parallèle à l'arête de la base dont elle est la réduction.
On peut donc appliquer le théorème de Thalès pour déterminer les dimensions des sections ainsi que le coefficient de réduction.
On considère une pyramide de base le polygone ABCDE et de sommet F.
On coupe cette pyramide à mi-hauteur par un plan parallèle à la base, tel que représenté sur le schéma suivant :
La section est alors un polygone GHIJK, réduction du polygone ABCDE de rapport \dfrac{1}{2}.
On a donc :
\dfrac{GH}{AB}=\dfrac{HI}{BC}=\dfrac{IJ}{CD}=\dfrac{JK}{DE}=\dfrac{KG}{EA}=\dfrac{1}{2}
Le cylindre de révolution
Le cylindre de révolution est un solide constitué de deux bases circulaires et d'une face latérale formée d'un rectangle entourant les deux bases. On peut le représenter en perspective cavalière, sous forme de patron, ou le découper en sections.
Les représentations du cylindre de révolution
Pour tracer un cylindre de révolution en perspective cavalière, il faut dessiner deux ovales qui semblent reliés par deux arêtes. Le patron d'un cylindre de révolution est formé d'un rectangle correspondant à la face latérale du cylindre et des deux disques de base.
Une représentation en perspective cavalière d'un cylindre est constituée de deux ovales qui semblent reliés par deux arêtes qui sont en fait des génératrices du cylindre.
Le schéma suivant est une représentation en perspective cavalière d'un cylindre de révolution :
Le patron d'un cylindre de révolution est une représentation à plat, qu'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est constitué d'un rectangle correspondant à la face latérale du cylindre et des deux disques de base.
L'une des dimensions du rectangle est la hauteur du cylindre. L'autre dimension est le périmètre des disques de base.
Le schéma suivant représente un cylindre de révolution dessiné en perspective cavalière et le patron correspondant :
Les sections du cylindre de révolution
La section d'un cylindre de révolution peut être obtenue par un plan perpendiculaire ou parallèle aux bases.
La section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire aux bases est un rectangle.
Le schéma suivant représente la section d'un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire aux bases :
La section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle aux bases est un disque.
Le schéma suivant représente la section d'un cylindre de révolution par un plan parallèle aux bases :
Le cône de révolution
Le cône de révolution est un solide qui possède une base circulaire et dont la face latérale est un secteur angulaire entourant cette base. On peut le représenter en perspective cavalière, sous forme de patron ou le découper en sections.
Les représentations du cône de révolution
Pour tracer la perspective cavalière d'un cône de révolution, il faut dessiner un cercle déformé dont la partie cachée est en pointillé, ainsi que deux segments. Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (le disque de base aux dimensions réelles) et d'un secteur angulaire qui forme la face latérale du cône une fois replié.
Une représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution est une figure composée d'un cercle déformé (forme ovale non circulaire) dont la partie cachée est en pointillé et de deux segments correspondant à deux génératrices opposées dans la réalité.
Le schéma suivant est une représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution de sommet S.
Le segment [SB] est une génératrice du cône.
Un patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (le disque de base aux dimensions réelles) et d'un secteur angulaire qui forme la face latérale du cône une fois replié.
L'arc de cercle du secteur angulaire a pour longueur le périmètre du disque de base.
Le rayon du secteur angulaire a pour longueur la longueur d'une génératrice du cône.
Le disque de base est tangent (ne touche qu'en un point) à l'arc de cercle du secteur angulaire.
Le schéma suivant représente un cône et un patron de ce cône :
Les sections du cône de révolution
La section d'un cône de révolution peut être obtenue par un plan parallèle à la base.
La section d'un cône de révolution ou d'une pyramide par un plan parallèle à la base est une figure de même nature que la base.
Le schéma suivant représente la section d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base :
La section obtenue est une réduction de la base.
Le rapport de réduction est le rapport de la hauteur du cône réduit par la hauteur du cône de départ.
Le cône représenté sur le schéma suivant a pour hauteur 4 unités.
On coupe ce cône par un plan parallèle à son disque de base au milieu du cône.
La hauteur du cône ainsi réduit est 2 unités.
La section du cône obtenue est un cercle réduction du cercle de base de rapport \dfrac{2}{4}, soit \dfrac{1}{2}.
La sphère
La sphère est un solide qui ne possède aucune face plate. On peut la représenter en perspective cavalière mais non sous forme de patron.
Les représentations de la sphère
Pour tracer la perspective cavalière d'une sphère, on dessine un cercle puis un ovale qui représente l'équateur. Il est impossible de construire le patron d'une sphère.
Pour représenter une sphère en perspective cavalière, on dessine un cercle puis un ovale qui représente l'équateur.
On ne peut pas construire le patron d'une sphère.
Les sections de la sphère
Les sections d'une sphère par un plan sont toujours de même nature : ce sont des cercles.
La section d'une sphère par un plan est un cercle qui peut être réduit à un point.
On considère une sphère de centre O et de rayon 3 unités, tel que représenté sur le schéma suivant.
On note A un point de la sphère.
On coupe la sphère par un plan perpendiculaire au rayon [OA] aux \dfrac{2}{3} du rayon en partant de O.
La section est alors un cercle, réduction d'un cercle équateur de rapport \dfrac{2}{3}.