Le repérage dans un pavé droit
Un pavé droit est formé de trois axes : l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et l'axe des altitudes. On situe un point dans ce repère grâce à ses coordonnées, c'est-à-dire son abscisse, son ordonnée et son altitude.
Le repère dans un pavé droit
Le repère dans un pavé droit est la donnée d'un point et de trois axes gradués : celui des abscisses, celui des ordonnées et celui des altitudes.
Repère dans un pavé droit
On appelle « repère dans un pavé droit » la donnée d'un point et de trois axes gradués.
Le point est un sommet du pavé et est appelé « origine du repère ».
Les trois axes gradués sont des prolongements d'arêtes du pavé concourant en l'origine.
Dans le pavé droit ABCDEFGH représenté sur le schéma ci-dessous, on peut choisir :
- le point A comme origine ;
- la droite (AB) comme axe des abscisses avec AB comme unité de longueur ;
- la droite (AD) comme axe des ordonnées avec AD comme unité de longueur ;
- la droite (AE) comme axe des altitudes avec AE comme unité de longueur.
L'abscisse, l'ordonnée et l'altitude d'un point dans un pavé droit
Un point est défini à partir de trois données : son abscisse, son ordonnée et son altitude.
Abscisse
L'abscisse d'un point est sa position par rapport à l'origine dans une direction parallèle à l'axe des abscisses.
On reprend le pavé de l'exemple précédent et le repère de l'exemple précédent.
On s'intéresse au point H. Dans la direction de l'axe des abscisses, il n'y a pas de décalage à effectuer : son abscisse est 0.
Ordonnée
L'ordonnée d'un point est sa position par rapport à l'origine dans une direction parallèle à l'axe des ordonnées.
On reprend le pavé ainsi que le repère de l'exemple précédent.
On s'intéresse au point H. Dans la direction de l'axe des ordonnées, il y a un décalage d'une unité à effectuer : son ordonnée est 1.
Altitude
L'altitude d'un point est sa position par rapport à l'origine dans une direction parallèle à l'axe des altitudes.
On reprend le pavé ainsi que le repère de l'exemple précédent.
On s'intéresse au point H. Dans la direction de l'axe des altitudes, il y a un décalage d'une unité à effectuer : son altitude est 1.
Les coordonnées d'un point dans un pavé droit
La donnée du triplet de nombres constitué, dans l'ordre suivant, de l'abscisse, de l'ordonnée et de l'altitude, représente les coordonnées d'un point.
Coordonnées d'un point
Dans un pavé droit, on choisit un repère.
On appelle « coordonnées d'un point » dans ce repère la donnée du triplet de nombres constitué, dans l'ordre, de son abscisse, son ordonnée et son altitude.
On note ce triplet entre parenthèses.
Les nombres sont séparés par des points-virgules.
On reprend le pavé de l'exemple précédent.
On choisit le repère suivant :
- le point A comme origine ;
- la droite (AB) comme axe des abscisses avec AB comme unité de longueur ;
- la droite (AD) comme axe des ordonnées avec AD comme unité de longueur ;
- la droite (AE) comme axe des altitudes avec AE comme unité de longueur.
On s'intéresse au point H.
Dans la direction de l'axe des abscisses, il n'y a pas de décalage à effectuer : son abscisse est 0.
Dans la direction de l'axe des ordonnées, il y a un décalage d'une unité à effectuer : son abscisse est 1.
Dans la direction de l'axe des altitudes, il y a un décalage d'une unité à effectuer : son altitude est 1.
Ses coordonnées dans ce repère sont donc :
(0;1;1)
La perspective cavalière et les patrons
La perspective cavalière permet de visualiser une figure en trois dimensions à plat. Les patrons sont des représentations permettant de construire le solide lorsque cela est possible. On trouve des patrons pour les pyramides et les cônes de révolution.
La pyramide
La pyramide est un solide possédant au minimum quatre faces dont une face polygonale quelconque et des faces latérales. On peut la représenter à partir d'une perspective cavalière ou d'un patron.
Définition d'une pyramide
Une pyramide est un polyèdre comportant au moins quatre faces. Parmi ces faces, il y a une face polygonale quelconque et des faces latérales.
Pyramide
Une pyramide est un polyèdre comportant au moins 4 faces dont :
- une face polygonale quelconque ;
- les autres faces, appelées « faces latérales », sont des triangles ayant tous un point commun, appelé « sommet de la pyramide ».
Le polyèdre ABCDEF est une pyramide de base ABCDE.
Les faces latérales sont les triangles ABF, BCF, CDF, DEF et EAF qui ont le point F en commun.
Le point F est le sommet de la pyramide.
La représentation en perspective cavalière d'une pyramide
La représentation en perspective cavalière d'une pyramide est une figure composée de plusieurs polygones qui ne sont pas aux dimensions réelles.
Une représentation en perspective cavalière d'une pyramide est une figure composée de plusieurs polygones qui n'ont pas les dimensions réelles, mais qui suivent les règles suivantes :
- Les droites parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin.
- Les arêtes visibles en réalité sont tracées en continu.
- Les arêtes cachées en réalité sont tracées en pointillé.
On reprend l'exemple précédent.
La pyramide ABCDEF de sommet F est représentée en perspective cavalière.
Le patron d'une pyramide
Le patron d'une pyramide est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Le patron d'une pyramide est une représentation à plat, que l'on obtient en le dépliant suivant ses faces.
Il est toujours formé des faces de la pyramide qui sont le polygone de base et des triangles qui forment les faces latérales de la pyramide.
Ces polygones ne peuvent comporter une arête commune sur le patron que si elles ont une arête commune sur la pyramide.
Le schéma suivant représente le déploiement d'un patron de pyramide, en partant de la pyramide représentée en perspective cavalière pour arriver au patron :
On peut construire plusieurs patrons différents d'une même pyramide.
Il suffit de modifier la façon dont on découpe le polyèdre.
Le schéma suivant représente deux patrons d'une même pyramide :
Le cône de révolution
Le cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit. On peut le représenter à partir d'une perspective cavalière ou d'un patron.
Définition d'un cône de révolution
Un cône de révolution est un solide comportant une base en forme de disque et une face latérale entourant cette base.
Cône de révolution
Le cône de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un triangle rectangle autour d'un des côtés de son angle droit.
La base d'un cône de révolution est un disque.
La face latérale est un secteur angulaire entourant le disque.
Le triangle ABC est rectangle en A.
On fait tourner ce triangle autour du côté [AC].
Le côté [BC] génère alors un cône de révolution.
On l'appelle « génératrice du cône ».
La représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution
La représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution est une figure composée d'un cercle déformé dont la partie cachée est en pointillé et de deux segments correspondant à deux génératrices opposées dans la réalité.
Une représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution est une figure composée d'un cercle déformé (forme ovale non circulaire) dont la partie cachée est en pointillé et de deux segments correspondants à deux génératrices opposées dans la réalité.
Le schéma suivant est une représentation en perspective cavalière d'un cône de révolution de sommet S.
Le segment [SB] est une génératrice du cône.
Le patron d'un cône de révolution
Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque et d'un secteur angulaire qui forme la face latérale du cône une fois replié.
Un patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (le disque de base aux dimensions réelles) et d'un secteur angulaire qui forme la face latérale du cône une fois replié.
L'arc de cercle du secteur angulaire a pour longueur le périmètre du disque de base.
Le rayon du secteur angulaire a pour longueur la longueur d'une génératrice du cône.
Le disque de base est tangent (ne touche qu'en un point) à l'arc de cercle du secteur angulaire.
Le schéma suivant représente un cône et un patron de ce cône :
On peut dessiner plusieurs patrons d'un même cône de révolution.
La seule différence est la position du disque de base le long de l'arc du secteur angulaire.
Le schéma suivant représente deux patrons d'un même cône :
