Les longueurs
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction d'un rapport k, les longueurs de l'image de la figure par la transformation sont proportionnelles aux longueurs de la figure de départ.
Si une transformation agrandit ou réduit les figures géométriques avec un rapport k, alors les longueurs de la figure image sont proportionnelles aux longueurs de la figure initiale.
Le coefficient de proportionnalité est k.
Le pentagone A'B'C'D'E' est un agrandissement du pentagone ABCDE de rapport 2.
Le pentagone A_1'B_1'C_1'D_1'E_1' est une réduction du pentagone ABCDE de rapport \dfrac{1}{3}.
Les longueurs des côtés du pentagone A'B'C'D'E' sont proportionnelles aux longueurs du pentagone ABCDE.
Le coefficient de proportionnalité est 2.
Ainsi :
- A'B'=2\times AB
- B'C'=2\times BC
- C'D'=2\times CD
- D'E'=2\times DE
- E'A'=2\times EA
Les longueurs des côtés du pentagone A_1'B_1'C_1'D_1'E_1' sont proportionnelles aux longueurs du pentagone ABCDE.
Le coefficient de proportionnalité est \dfrac{1}{3}.
Ainsi :
- A_1'B_1'=\dfrac{1}{3}\times AB
- B_1'C_1'=\dfrac{1}{3}\times BC
- C_1'D_1'=\dfrac{1}{3}\times CD
- D_1'E_1'=\dfrac{1}{3}\times DE
- E_1'A_1'=\dfrac{1}{3}\times EA
Les angles
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction d'un rapport donné, les figures images et les figures initiales ont les mêmes mesures d'angle.
Si une transformation agrandit ou réduit les figures géométriques avec un rapport k, alors les angles de la figure image ont les mêmes mesures que les angles de la figure initiale.
On reprend l'exemple précédent.
Le pentagone A'B'C'D'E' est un agrandissement du pentagone ABCDE de rapport 2.
Le pentagone A_1'B_1'C_1'D_1'E_1' est une réduction du pentagone ABCDE de rapport \dfrac{1}{3}.
Les angles du pentagone A'B'C'D'E' ont les mêmes mesures que les angles du pentagone ABCDE.
Les angles du pentagone A_1'B_1'C_1'D_1'E_1' ont également les mêmes mesures que les angles du pentagone ABCDE.
Ainsi :
- \widehat{B'A'E'}=\widehat{B_1'A_1'E_1'}=\widehat{BAE}
- \widehat{C'B'A'}=\widehat{C_1'B_1'A_1'}=\widehat{CBA}
- \widehat{D'C'B'}=\widehat{D_1'C_1'B_1'}=\widehat{DCB}
- \widehat{E'D'C'}=\widehat{E_1'D_1'C_1'}=\widehat{EDC}
- \widehat{A'E'D'}=\widehat{A_1'E_1'D_1'}=\widehat{AED}
Les aires
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction d'un rapport k, les aires des figures images s'obtiennent à partir des aires des figures initiales et du rapport k.
Si une transformation agrandit ou réduit les figures géométriques avec un rapport k, alors l'aire de la figure image est le produit de l'aire de la figure initiale par k^2.
On reprend l'exemple précédent.
Le pentagone A'B'C'D'E' est un agrandissement du pentagone ABCDE de rapport 2.
Le pentagone A_1'B_1'C_1'D_1'E_1' est une réduction du pentagone ABCDE de rapport \dfrac{1}{3}.
L'aire du pentagone A'B'C'D'E' est égale au produit de l'aire du pentagone ABCDE par 2^2.
Ainsi :
\mathcal{A}_{A'B'C'D'E'}=4\times \mathcal{A}_{ABCDE}
L'aire du pentagone A'B'C'D'E' est égale au produit de l'aire du pentagone ABCDE par \left(\dfrac{1}{3}\right)^2.
Ainsi :
\mathcal{A}_{A_1'B_1'C_1'D_1'E_1'}=\dfrac{1}{9}\times \mathcal{A}_{ABCDE}
Les volumes
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction d'un rapport k, les volumes des solides images s'obtiennent à partir des volumes des solides initiaux et du rapport k.
Si une transformation agrandit ou réduit les objets géométriques avec un rapport k, alors le volume du solide image est le produit du volume du solide initial par k^3.
La pyramide S'A'B'C'D' est un agrandissement de rapport 2 de la pyramide SABCD.
La pyramide S_1'A_1'B_1'C_1'D_1' est une réduction de rapport \dfrac{1}{2} de la pyramide SABCD.
Le volume de la pyramide S'A'B'C'D' est le produit du volume de la pyramide SABCD par 2^3.
Ainsi :
\mathcal{V}_{S'A'B'C'D'}=8\times \mathcal{V}_{SABCD}
Le volume de la pyramide S_1'A_1'B_1'C_1'D_1' est le produit du volume de la pyramide SABCD par (\dfrac{1}{2})^3.
Ainsi :
\mathcal{V}_{S_1'A_1'B_1'C_1'D_1'}=\dfrac{1}{8}\times \mathcal{V}_{SABCD}