Définitions
La proportionnalité entre deux grandeurs indique qu'elles évoluent de la même façon. L'utilisation d'un tableau rend l'étude de ces valeurs plus facile.
Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si l'on passe des valeurs de la première grandeur aux valeurs de la deuxième en multipliant toujours ces valeurs par un même nombre.
Max a acheté 1 croissant qui coûte 1,02 €. Pour en acheter 3, il devra payer 3 \times 1{,}02 = 3{,}06\text{ €}.
Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés puisqu'on multiplie toujours le nombre de croissants par 1,02 pour obtenir le prix.
Coefficient de proportionnalité
Lorsqu'on utilise un tableau de proportionnalité, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par un même nombre, pour chaque colonne.
Ce nombre est appelé « coefficient de proportionnalité ».
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
On reprend l'exemple des croissants.
Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, on note dans le tableau suivant les prix de 2, 3, 4 et 5 croissants :
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant, soit 1,02.
Le prix de 5 croissants sera par exemple de 5\times 1{,}02 = 5{,}10 = 5{,}1\text{ €}.
Tableau de proportionnalité
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, tout tableau donnant des valeurs de ces deux grandeurs est appelé « tableau de proportionnalité ».
On reprend l'exemple des croissants.
Si le prix d'un croissant est de 1,02 €, le prix des croissants à payer est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Le tableau suivant est donc un tableau de proportionnalité :
| Nombre de croissants | 1 | 2 | 5 | 10 |
| Prix à payer en euros | 1,02 | 2,04 | 5,10 | 10,20 |
La relation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque multiplier l'une par un nombre non nul revient à multiplier l'autre par ce même nombre non nul. Les propriétés de linéarité permettent de calculer la valeur d'une grandeur par rapport à la valeur d'une autre. Les grandeurs étant proportionnelles, on peut additionner deux colonnes d'un tableau de proportionnalité, ou bien multiplier une colonne par un nombre pour obtenir une nouvelle valeur. On peut utiliser un graphique pour représenter la relation de proportionnalité entre les deux grandeurs.
Le principe de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on multiplie l'une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre. Connaître le coefficient de proportionnalité entre ces deux grandeurs permet de passer de l'une à l'autre. Cela n'est possible que si les deux grandeurs sont proportionnelles.
Deux grandeurs sont proportionnelles si, lorsqu'on multiplie l'une par un nombre non nul, l'autre est également multipliée par ce même nombre.
Pour passer d'un prix en euros (première grandeur) à un prix en francs (deuxième grandeur) on multiplie chaque prix en euros par 6,55957.
Si l'on multiplie un prix en euros par 10, on doit également multiplier le prix en francs par 10.
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, si l'on connaît le coefficient de proportionnalité permettant de passer d'une grandeur à l'autre, on en déduit une formule liant les deux grandeurs.
On reprend l'exemple des croissants à 1,02 € l'unité.
Pour obtenir le prix à payer, il suffit de multiplier par 1,02 le nombre de croissants achetés.
1,02 est le coefficient de proportionnalité permettant de passer du nombre de croissants achetés au prix à payer.
On en déduit la formule :
\text{Prix à payer}=1{,}02\times\text{Nombre de croissants}
Dans un tableau, si l'une des colonnes n'a pas le même coefficient multiplicateur que les autres (pour passer de la première à la deuxième ligne), il ne s'agit pas d'une situation de proportionnalité.
| 3 | 2 | 1,1 |
| 9 | 6 | 3,1 |
Ce tableau n'est pas un tableau de proportionnalité.
Pour les deux premières colonnes, on multiplie par 3 pour passer de la première ligne à la seconde, alors que pour la dernière colonne ce n'est pas le cas.
Les propriétés de linéarité
Dans un tableau de proportionnalité, on peut passer d'une colonne à l'autre en additionnant deux colonnes ou bien en multipliant une colonne par un nombre. Ce sont ce qu'on appelle les « propriétés de linéarité ».
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par un nombre.
La représentation graphique de la proportionnalité
On peut représenter deux valeurs proportionnelles sur un graphique : chaque grandeur est associée à l'un des deux axes.
On considère deux grandeurs A et B et un tableau de valeurs de ces grandeurs.
On place sur un graphique des points dont les coordonnées sont les valeurs du tableau avec les valeurs de A en abscisse et les valeurs de B en ordonnée.
- Si les grandeurs A et B sont proportionnelles, les points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère.
- Réciproquement, si les points sont alignés avec l'origine du repère, alors ces grandeurs sont proportionnelles.
Le graphique suivant représente la situation du tableau de proportionnalité de l'exemple des croissants au prix unitaire de 1,02 € :
On peut ainsi déterminer par lecture graphique des valeurs de grandeurs proportionnelles lorsque la lecture est suffisamment simple.
Le graphique suivant correspond au prix à payer dans une boulangerie en fonction du nombre de baguettes au levain achetées :
On lit par exemple :
- 2 baguettes au levain coûtent 3 €.
- 3 baguettes au levain coûtent 4,50 €.
Calculer une quatrième proportionnelle
Dans un tableau de proportionnalité, le produit en croix permet de calculer une quatrième valeur quand on en connaît déjà trois. Cette valeur est appelée « quatrième proportionnelle ».
La quatrième proportionnelle
Dans un tableau de proportionnalité, s'il manque un seul nombre dans l'une des deux colonnes, on parle alors de « quatrième proportionnelle ».
Quatrième proportionnelle
Si dans deux colonnes d'un tableau de proportionnalité il manque un seul nombre, ce nombre est appelé « quatrième proportionnelle ».
Dans le tableau suivant, le point d'interrogation représente la quatrième proportionnelle.
Le produit en croix
Le produit en croix permet de déterminer la quatrième proportionnelle.
Produit en croix
Soit le tableau de proportionnalité suivant :
On a :
a\times d=b\times c
Cette égalité est appelée « produit en croix ».
On considère le tableau suivant qui est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égal à 3 :
| 1re grandeur | 2 | 10 |
| 2e grandeur | 6 | 30 |
L'égalité 2\times 30=6\times 10 est appelée « produit en croix ».
Plus généralement, le produit en croix est une relation que vérifient deux fractions égales.
Si \dfrac{\textcolor{Blue}{a}}{\textcolor{Red}{b}} = \dfrac{\textcolor{Red}{c}}{\textcolor{Blue}{d}}, alors \textcolor{Blue}{a \times d} = \textcolor{Red}{b \times c}.
Si dans deux colonnes d'un tableau de proportionnalité il manque un seul nombre, on peut calculer ce nombre manquant à l'aide du produit en croix.
On reprend l'exemple des croissants à 1,02 € l'unité.
Le prix à payer est proportionnel au nombre de croissants achetés.
On considère le tableau suivant et on cherche le nombre de croissants correspondant à un prix à payer de 7,14 €.
On écrit le produit en croix :
\text{2{,}04} \times ? = \left(2 \times 7{,}14\right)
On a alors :
? = \left(2 \times 7{,}14\right) \div 2{,}04 = 7
Les applications de la proportionnalité
Les applications de la proportionnalité sont nombreuses : on les retrouve dans la vitesse, les pourcentages et les échelles.
La vitesse
Lors d'un mouvement uniforme, la durée de parcours et la distance parcourue sont proportionnelles. La vitesse est le coefficient de proportionnalité.
Vitesse moyenne
Lors d'un parcours d'une distance d en un temps t, la vitesse moyenne v est égale à v = \dfrac{d}{t}.
Un cycliste a parcouru 2,6 km en 15 min. Pour connaître sa vitesse moyenne en km/h, on divise la distance parcourue exprimée en kilomètres par la durée du parcours exprimée en heures.
Sachant que 15 min = 0,25 h, on obtient :
v = \dfrac{2{,}6}{0{,}25} = 10{,}4 \text{ km/h}
Vitesse et coefficient de proportionnalité
Lors d'un mouvement uniforme, la durée de parcours et la distance parcourue sont proportionnelles. Le coefficient de proportionnalité est la vitesse.
Lors d'un mouvement uniforme sur autoroute à une vitesse de 130 km/h, les distances et durées sont proportionnelles.
- On multiplie les durées en heures par V=130 pour obtenir les distances en kilomètres.
- On divise les distances en kilomètres par V=130 pour obtenir les durées en heures.
On obtient par exemple le tableau suivant :
Pour calculer une distance parcourue quand on connaît la vitesse et la durée, ou pour calculer une durée de parcours quand on connaît la vitesse et la distance, on utilise le produit en croix.
Si l'on se déplace à 50 km/h, on peut calculer la durée de parcours grâce au tableau de proportionnalité suivant :
| Distance parcourue (km) | 50 | 250 |
|---|---|---|
| Durée du parcours (h) | 1 | ? |
?=\dfrac{1\times250}{50}=5\text{ h}
On peut donc compléter le tableau de proportionnalité suivant :
| Distance parcourue (km) | 50 | 250 |
|---|---|---|
| Durée du parcours (h) | 1 | 5 |
Les pourcentages
Les pourcentages sont des fractions dont le dénominateur est égal à 100. Ils permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée, ou bien de comparer des proportions. On peut augmenter ou diminuer une proportion de t %.
L'usage de la proportionnalité pour passer d'une situation réelle à une situation standardisée
L'usage des pourcentages et de la proportionnalité permet de passer d'une situation réelle à une situation standardisée.
Pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
Les pourcentages permettent de passer par proportionnalité d'une situation réelle à une situation standardisée. Ils sont ainsi utiles pour comparer des proportions.
Dans un groupe de 20 enfants, 5 enfants jouent d'un instrument de musique. On peut construire un tableau dont la première ligne correspond au nombre total d'enfants et la seconde ligne au nombre d'enfants jouant d'un instrument de musique :
| Nombre total d'enfants | 20 |
|---|---|
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 |
En conservant la même proportion, on souhaite calculer le nombre d'élèves qui joueraient d'un instrument de musique si le groupe était composé de 100 enfants. Il suffit de procéder par produit en croix, en ajoutant une colonne dont la première ligne contient la valeur 100 :
| Situation réelle | Situation standardisée | |
|---|---|---|
| Nombre total d'enfants | 20 | 100 |
| Nombre d'enfants jouant d'un instrument | 5 | 25 |
Cela signifie que dans les mêmes proportions, un groupe de 100 enfants comprendrait 25 enfants jouant d'un instrument. La proportion d'enfants de ce groupe jouant d'un instrument est ainsi égale à 25 %.
Augmenter ou diminuer une quantité de t\ \%
Augmenter une quantité de t\ \% revient à la multiplier par 1+\dfrac{t}{100}. Diminuer une quantité de t\ \% revient à la multiplier par 1-\dfrac{t}{100}.
Pour calculer t\text{ \%} d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}.
Une chemise coûte 82 €. Étienne obtient une remise de 10 %.
On a :
10 \text{ \%} \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2
Il bénéficie donc d'une réduction de 8,2 € sur la chemise.
Augmenter une quantité de t\text{ \%} revient à la multiplier par 1+\dfrac{t}{100}.
Un village de 2 000 personnes voit sa population augmenter de 5 %. Pour déterminer le nouveau nombre d'habitants dans le village, on effectue le calcul suivant :
2\ 000\times\left(1+\dfrac{5}{100}\right)=2\ 000\times1{,}05=2\ 100
Dans le village, il y a désormais 2 100 personnes.
Augmenter une quantité de 100 % revient donc à la multiplier par 2.
Diminuer une quantité de t\text{ \%} revient à la multiplier par 1-\dfrac{t}{100}.
Une télévision qui vaut 200 € est soldée à -40 %. Pour déterminer le nouveau prix de la télévision, on effectue le calcul suivant :
200\times\left(1-\dfrac{40}{100}\right)=200\times0{,}6=120
Le prix de la télévision soldée est donc de 120 €.
Augmenter une quantité de t\text{ \%} puis diminuer ensuite de t\text{ \%} ne permet pas de revenir à la quantité initiale.
Il y a 100 poissons dans un bocal.
Le nombre de poissons augmente de 10 %.
On calcule le nouveau nombre de poissons :
100\times\left(1+\dfrac{10}{100}\right)=100\times1{,}1=110
Il y a désormais 110 poissons dans le bocal.
Cette quantité diminue de 10 %.
On calcule de nouveau le nombre de poissons :
110\times\left(1-\dfrac{10}{100}\right)=110\times0{,}9=99
Après une augmentation de 10 % puis une diminution de 10 %, il reste 99 poissons dans le bocal. On ne revient donc pas à la valeur d'origine, qui était 100.
Augmenter successivement une quantité de t\text{ \%} puis de t' \text{ \%} ne revient pas à augmenter la quantité initiale de \left(t+t'\right)\text{ \%}.
Les échelles
Les échelles que l'on trouve sur les cartes, les maquettes, les images de l'infiniment grand ou de l'infiniment petit, donnent un autre exemple de deux grandeurs proportionnelles : les dimensions sur le plan et les dimensions réelles. L'échelle du plan est le coefficient de proportionnalité permettent de passer d'une valeur à l'autre.
Échelle
Les dimensions sur un plan (ou une carte) sont proportionnelles aux dimensions réelles. L'échelle d'un plan (ou d'une carte) est le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir les dimensions sur le plan à partir des dimensions réelles.
L'échelle est souvent donnée sous forme fractionnaire. Dans ce cas, on a :
\text{Échelle}=\dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}}
Les dimensions doivent être exprimées dans la même unité.
Si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions ont été divisées par 2 500. Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2 500 cm en réalité.
Une échelle peut s'écrire \dfrac{\text{Dimensions sur le plan}}{\text{Dimensions réelles}} ou \text{Dimensions sur le plan} : \text{Dimensions réelles}.
Une échelle peut s'écrire \dfrac{1}{2\ 500} ou 1 : 2\ 500.