Les situations relevant de la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on multiplie un même nombre non nul les valeurs de l'une pour obtenir celle de l'autre. On appelle coefficient de proportionnalité le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur.
Les grandeurs proportionnelles
On dit que deux grandeurs sont des grandeurs proportionnelles si l'on multiplie toujours par un même nombre non nul les valeurs de l'une pour obtenir les valeurs de l'autre.
Max a acheté 1 croissant pour 1,02 €.
Pour en acheter 3, il devra payer 3 fois le prix d'un croissant, c'est-à-dire :
3 \times 1{,}02 = 3{,}06\text{ € }
Le prix est proportionnel au nombre de croissants achetés.
Le coefficient de proportionnalité
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, on appelle coefficient de proportionnalité le nombre par lequel on multiplie les valeurs de la première grandeur pour obtenir les valeurs de la deuxième grandeur.
Dans une boulangerie, le prix d'une baguette est de 1,05 €.
Le prix à payer pour l'achat de 5 baguettes est 5 fois le prix d'une baguette, soit :
5\times 1{,}05=5{,}25 \text{ €}
On multiplie donc le nombre de baguettes achetées par 1,05.
De façon plus générale, le prix à payer pour l'achat d'un nombre donné de baguettes est le nombre de baguettes multiplié par 1,05.
Le coefficient de proportionnalité permettant d'obtenir le prix à payer en fonction du nombre de baguettes achetées est 1,05.
De nombreuses situations faisant intervenir deux grandeurs relèvent de la proportionnalité.
Les situations suivantes relèvent de la proportionnalité :
- le prix de cahiers et nombre de cahiers achetés ;
- le poids de fraises et le prix payé ;
- le volume d'eau consommé et le montant de la facture.
Les situations faisant intervenir deux grandeurs ne relèvent pas forcément de la proportionnalité.
Les situations suivantes ne relèvent pas de la proportionnalité :
- l'âge et le nombre de dents d'un enfant ;
- l'âge et la taille d'un être humain.
Les propriétés
Pour effectuer des calculs sur des grandeurs proportionnelles, il existe plusieurs propriétés qui permettent de faciliter la recherche.
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la règle de l'addition.
Dans une recette de tarte aux pommes :
- pour une tarte de 6 personnes, on utilise 3 pommes ;
- pour une petite tarte de 2 personnes, on utilise 1 pomme.
Ainsi, pour une tarte de 8 personnes (qui correspond à 6+2), on utilisera 3+1, soit 4 pommes.
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut également effectuer un passage à l'unité.
S'il faut 150 g de farine pour 6 personnes, alors il faut 25 g de farine pour une personne (car 150\div6=25).
Il faut donc 4\times25=100\text{ g} de farine pour 4 personnes.
Dans une situation relevant de la proportionnalité, on peut appliquer la règle de la multiplication.
On sait que 2 chaises coûtent 320 € et on veut savoir combien coûtent 6 chaises.
6=2\times3
Donc 6 chaises coûtent :
320\times3=960\text{ €}
L'utilisation de tableaux
Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, utiliser un tableau rempli de valeurs des deux grandeurs peut aider pour effectuer les calculs.
Le tableau de proportionnalité
Pour représenter une situation de proportionnalité, on utilise souvent un tableau de proportionnalité.
Par définition, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant par le coefficient de proportionnalité, pour chaque colonne.
Inversement, on passe de la seconde ligne à la première en divisant par le coefficient de proportionnalité.
Sachant qu'un croissant coûte 1,02 €, voici les prix pour 2, 3, 4 et 5 croissants :
Dans cet exemple, le coefficient de proportionnalité est le prix d'un croissant : 1,02.
Dans un tableau de proportionnalité, on peut additionner deux colonnes.
Un produit en croix
Lorsque l'on place les valeurs de deux grandeurs proportionnelles dans un tableau, les valeurs de deux colonnes du tableau vérifient le produit en croix :
Cela signifie que le produit des valeurs a\times d est égal au produit des valeurs b\times c.
Si, comme sur la figure ci-dessus, on relie les valeurs citées par une double flèche, on dessine une croix, d'où le nom de « produit en croix ».
Dans une boulangerie, le prix d'une baguette est de 1,05 €.
On obtient alors le tableau suivant :
5\times 6{,}30=31{,}50
6\times 5{,}25=31{,}50
Le prix à payer étant proportionnel au nombre de baguettes, le produit en croix est vérifié.
Dans un tableau de proportionnalité, lorsque l'on connaît trois valeurs de deux colonnes, on peut en déduire la quatrième valeur à l'aide du produit en croix.
On cherche le nombre ? tel que 2{,}04\times\text{ ?} =2 \times 7{,}14.
? = \left(2 \times 7{,}14\right) \div 2{,}04 = 7
Pour retrouver la valeur inconnue, on peut aussi diviser par le coefficient de proportionnalité du tableau. Ici, le coefficient de proportionnalité est :
2{,}04\div2=1{,}02
Donc :
?=7{,}14\div1{,}02=7
On appelle également cette règle la « règle de trois ».
Les applications de la proportionnalité
Les situations dans lesquelles la proportionnalité intervient sont fréquentes : les pourcentages, les échelles ou encore l'agrandissement ou la réduction d'une figure géométrique.
Les pourcentages
Une des applications essentielles de la notion de proportionnalité est celle des pourcentages.
Un pourcentage
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est égal à 100.
\textcolor{Blue}{6} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{6}}{100}
\textcolor{Blue}{8{,}9} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{8{,}9}}{100}
\textcolor{Blue}{31} \text{ \%} = \dfrac{\textcolor{Blue}{31}}{100}
Si une boisson comporte 5 % de sucre, cela signifie que dans 100 cL de cette boisson, il y a 5 cL de sucre.
Pour calculer t \text{ \%} d'un nombre, on multiplie ce nombre par \dfrac{t}{100}, où \dfrac{t}{100} est le quotient de t par 100.
Une chemise coûte 82 €. Étienne obtient une remise de 10 %.
Il bénéficie donc d'une réduction de 8,2 € sur la chemise, car 10 \text{ \%} \times 82 = \dfrac{10}{100} \times 82 = 0{,}1 \times 82 = 8{,}2.
Certains pourcentages sont à connaître :
- Prendre 10 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 10 (ou à en prendre le dixième).
- Prendre 25 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 4 (ou à en prendre le quart).
- Prendre 50 % d'un nombre revient à diviser ce nombre par 2 (ou à en prendre la moitié).
- 10 % de 156 vaut 156\div10=15{,}6.
- 25 % de 240 vaut 240\div4=60.
- 50 % de 10,2 vaut 10{,}2\div2=5{,}1.
Les échelles
La notion d'échelle utilisée pour représenter le plus souvent des situations faisant intervenir de grandes dimensions est également une application de la proportionnalité. On utilise également les échelles dans des situations faisant intervenir de petites dimensions.
L'échelle
Sur la plupart des plans, les longueurs sont proportionnelles aux longueurs réelles.
Dans ce cas, on appelle échelle du plan le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur réelle correspondante.
Les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Par exemple, si une représentation est à l'échelle \dfrac{1}{2\ 500}, cela signifie que toutes les dimensions réelles ont été divisées par 2 500 pour obtenir les dimensions sur le plan.
Inversement, 1 cm sur la représentation correspond à 2 500 cm en réalité.
Sur un tel plan, si les deux rives d'une rivière sont distantes de 3 cm sur le plan, elles sont, dans la réalité, distantes de :
3\times2\ 500=7\ 500 \text{ cm}, soit 75 m
Une échelle permet de représenter un objet (ou un lieu) de grande taille sur une feuille, tout en respectant les proportions.
Réaliser le plan d'une ville à l'échelle \dfrac{1}{7\ 500} permet de représenter un lieu d'une largeur de 7 500 cm sur 1 cm, soit un lieu d'une largeur de 75 m sur un 1 cm.
Sur un tel plan, si la ville possède une largeur de 80 cm, cela correspond en réalité à :
80\times7\ 500=600\ 000\text{ cm} soit 6 km
Une échelle peut être inférieure à 1 (dans le cas d'une réduction) ou supérieure à 1 (dans le cas d'un agrandissement).
Un coléoptère est représenté à l'échelle 20:1, soit \dfrac{20}{1}.
Les dimensions sur le croquis sont alors 20 fois plus grandes que dans la réalité.
L'échelle est supérieure à 1.
C'est un agrandissement.
L'échelle d'un plan est le nombre par lequel on multiplie les grandeurs réelles pour obtenir les grandeurs sur le plan dans la même unité.
Une carte de France est à l'échelle 1 : 1\ 000\ 000, soit \dfrac{1}{1\ 000\ 000}.
Pour utiliser une échelle, il est préférable de mettre les deux grandeurs dans la même unité.
Si deux villes sont éloignées de 30 km (soit 3 000 000 cm), la distance qui les sépare sur le plan est, en cm :
3\ 000\ 000\times\dfrac{1}{1\ 000\ 000}=\dfrac{3\ 000\ 000}{1\ 000\ 000}= 3\text{ cm}
L'agrandissement ou la réduction d'une figure géométrique
Reproduire une figure géométrique à une échelle donnée agrandit ou réduit la figure selon l'échelle choisie.
Un agrandissement de figure
Lorsque l'on reproduit une figure à une échelle plus grande que 1, la figure reproduite est plus grande que celle de départ.
On parle d'un agrandissement de la figure initiale.
La figure 2 est une reproduction de la figure 1 à l'échelle 2.
Il s'agit d'un agrandissement car 2>1.
Une réduction d'une figure
Lorsque l'on reproduit une figure à une échelle plus petite que 1, la figure reproduite est plus petite que celle de départ.
On parle d'une réduction de la figure initiale.
La figure 2 est une reproduction de la figure 1 à l'échelle \dfrac{1}{3}.
Il s'agit d'une réduction car \dfrac{1}{3}<1.
Lorsque l'on reproduit une figure géométrique à une échelle différente de 1, les proportions et les angles sont conservés.
Autrement dit :
- les proportions sur la figure de départ et la figure reproduite sont les mêmes ;
- les angles sur la figure de départ et la figure reproduite sont les mêmes.
Sur la figure ci-dessous, le polygone A'B'C'D'E' est un agrandissement du polygone ABCDE à l'échelle 2.
Les mesures d'angles sont conservées :
\widehat{B'A'E'}=\widehat{BAE}
\widehat{A'E'D'}=\widehat{AED}
\widehat{D'C'B'}=\widehat{DCB}
Les proportions sont conservées :
Comme AE=\dfrac{1}{2}AB, on a :
A'E'=\dfrac{1}{2}A'B'
Comme AE=BC, on a :
A'E'=B'C'