La multiplication
Définitions
Le produit
Le résultat d'une multiplication est appelé le produit.
Dans la multiplication 7{,}5\times1{,}1=8{,}25, le résultat 8,25 est le produit.
Les facteurs
Les nombres que l'on multiplie sont appelés les facteurs.
Dans la multiplication 7{,}5\times1{,}1=8{,}25, les nombres 7,5 et 1,1 sont les facteurs.
Effectuer une multiplication
Dans une multiplication, on peut inverser l'ordre des facteurs. Si le calcul ne comporte que des multiplications, on peut changer l'ordre des facteurs et les regrouper.
- 12{,}3\times44{,}1=44{,}1\times12{,}3
- 2{,}5\times18{,}1\times4\times2=\left(2{,}5\times4\right)\times\left(18{,}1\times2\right)
Cette propriété est très utile en calcul mental pour regrouper les facteurs décimaux dont le produit est égal à un nombre entier, notamment.
\textcolor{Blue}{1{,}25} \times 6 \times \textcolor{Blue}{4} = \underbrace{\textcolor{Blue}{1{,}25} \times \textcolor{Blue}{4}}_{5} \times 6 = 5 \times 6 = 30
Il est pratique d'identifier les multiplications suivantes dans un calcul :
- 2 \times 0{,}5 = 1
- 4 \times 0{,}25 = 1
- 8 \times 0{,}125 = 1
- 5 \times 0{,}2 = 1
0{,}25\times0{,}2\times4\times5=\left(0{,}25\times4\right)\times\left(0{,}2\times5\right)=1\times1=1
On peut parfois décomposer un produit en la somme (ou la différence) de deux produits pour rendre le calcul mental plus simple.
-
Décomposer 21\times 45 rend le calcul de tête plus simple :
21\times 45=20\times 45+1\times 45Comme 20\times 45=900 et 1\times 45=45, on en déduit :
21\times 45=900+45=945
-
Décomposer 18\times 6 rend le calcul de tête plus simple :
18\times 6=20\times 6-2\times 6Comme 20\times 6=120 et 2\times 6=12, on en déduit :
18\times 6=120-12=108
On peut également parfois regrouper une somme de deux produits en un seul produit et rendre le calcul mental plus simple.
3\times 21+7\times 21 peut se regrouper en 10\times 21.
Cela donne :
3\times 21+7\times 21=210
La multiplication d'un nombre par 0 est égale à 0.
84{,}56\times0=0
Pour multiplier un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la droite.
On veut calculer 247{,}4 \times 10.
La partie décimale étant formée d'un seul chiffre, on déplace la virgule d'un rang vers la droite et on retire la virgule :
247{,}4 \times 10 = 2\ 474
Pour multiplier un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la droite.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. Il n'y a alors plus de partie décimale et donc de virgule.
On veut calculer 328{,}2 \times 100.
On doit donc déplacer la virgule de deux rangs vers la droite. La partie décimale étant formée que d'un chiffre, on ajoute donc un 0 à la fin et on retire la virgule :
328{,}2 \times 100 = 32\ 820
Pour multiplier un nombre décimal par 1 000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la droite.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. Il n'y a alors plus de partie décimale et donc de virgule.
On veut calculer 129{,}56 \times 1\ 000.
On doit donc déplacer la virgule de trois rangs vers la droite. La partie décimale étant formée que de deux chiffres, on ajoute donc un 0 à la fin et on retire la virgule :
129{,}56 \times 1\ 000 = 129\ 560
L'ordre de grandeur d'un produit
Ordre de grandeur d'un produit
L'ordre de grandeur d'un produit est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du produit. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
On souhaite calculer :
\textcolor{Blue}{19} \times \textcolor{Red}{9}
Une valeur approchée de ce produit est :
\textcolor{Blue}{20} \times \textcolor{Red}{10} = 200
Multiplier deux nombres décimaux
Pour effectuer le calcul posé de deux nombres décimaux, on effectue la multiplication des deux nombres sans se soucier des éventuelles virgules.
On compte le nombre de chiffres de la partie décimale du premier nombre. On note A.
On compte le nombre de chiffres de la partie décimale du deuxième nombre. On note B.
On cumule les nombres de chiffres des parties décimales de chacun deux nombres.
Si on appelle N ce nombre, on a N=A+B.
On place la virgule dans le résultat pour que celui-ci ait N chiffres après la virgule.
On cherche à poser la multiplication 3{,}1416\times 12{,}8.
On effectue tout d'abord la multiplication sans s'occuper des virgules 31\ 416\times 128 en utilisant les étapes habituelles :
- On multiplie 31 416 par 8.
- On se décale d'un cran vers la gauche en plaçant un point, par exemple, sous le chiffre des unités, et on multiplie 31 416 par 2.
- On se décale de deux crans vers la gauche en plaçant deux points sous les chiffres des unités et des dizaines, et on multiplie 31 416 par 1.
- On additionne les trois nombres obtenus.
On compte maintenant le nombre de chiffres des parties décimales.
- La partie décimale du nombre 3,1416 comporte 4 chiffres.
- La partie décimale du nombre 12,8 comporte 1 chiffre.
- On additionne ces deux nombres : 4+1=5.
On place la virgule dans le résultat final pour avoir 5 chiffres dans la partie décimale.
Pour multiplier un nombre décimal par un nombre entier, on applique la même technique que pour multiplier deux nombres entiers. Dans un premier temps, on effectue les calculs sans se soucier de la virgule.
Dans un deuxième temps, on compte le nombre de chiffres après la virgule dans le nombre décimal de départ et on place la virgule dans le résultat final pour qu'il y en ait autant.
La division
Définitions
Division euclidienne
Effectuer une division euclidienne d'un nombre entier a appelé « dividende » par un nombre entier b, différent de 0, appelé « diviseur », c'est trouver deux nombres entiers q et r, appelés « quotient » et « reste », vérifiant :
- a = b \times q + r
- r\lt b
Jean possède un paquet de 100 bonbons et a organisé une fête pour son anniversaire. Ils seront 9 au total pour la fête. Il se demande combien de bonbons ils auront chacun et combien il en restera en plus.
Pour trouver le résultat, il faut effectuer la division euclidienne de 100 par 9. On obtient :
On a donc :
100=9\times 11+1
Jean pourra donc donner 11 bonbons à chacun, et il lui en restera 1 à l'issue du partage.
Quotient d'une division euclidienne
Lors d'une division euclidienne d'un entier a par un entier b, le nombre q tel que a=b\times q+r avec r<b est appelé le quotient de la division euclidienne de a par b.
Dans la division euclidienne de 100 par 9, on obtient 100=9\times 11+1.
Le quotient de cette division est 11.
Reste d'une division euclidienne
Lors d'une division euclidienne d'un entier a par un entier b, le nombre r tel que a=b\times q+r avec r<b est appelé le reste de la division euclidienne de a par b.
Dans la division euclidienne de 100 par 9, on obtient 100=9\times 11+1.
Le reste de cette division est 1.
Les multiples et les diviseurs
Multiple d'un nombre entier
Un nombre entier a est dit multiple d'un nombre entier b si la division de a par b donne un reste nul.
6 est un multiple de 2 car 6=2\times3+0.
Si a est un multiple de b, alors il appartient à la table de multiplication de b.
Diviseur d'un nombre entier
Un nombre entier b est dit diviseur d'un nombre entier a si la division de a par b donne un reste nul.
3 est un diviseur de 9 car 9=3\times3+0.
Si b est diviseur de a, alors a est un multiple de b.
Les critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
468 est divisible par 2. En effet, son chiffre des unités est 8. Il appartient donc à la liste \{0;2;4;6;8\}
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ces chiffres est un multiple de 3.
315 est divisible par 3. En effet, on a 3+1+5=9, donc la somme des chiffres de 315 est un multiple de 3.
Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par son chiffre des dizaines et celui des unités est un multiple de 4.
12 424 est un multiple de 4. En effet, le nombre formé par ses deux derniers chiffres est 24 qui est un multiple de 4, on a 24=6\times 4.
Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
785 est divisible par 5. En effet, son chiffre des unités est 5. Il appartient donc à la liste \{0;5\}.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9.
126 est divisible par 9. En effet, on a 1+2+6=9.
Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
179 520 est divisible par 10. En effet, son chiffre des unités est 0.
La division d'un nombre décimal par un nombre entier
Quotient d'un nombre décimal par un nombre entier
On appelle quotient d'un nombre décimal a par un nombre entier b le nombre qui, multiplié par b, donne a.
Le quotient de a par b se note a\div b. Ainsi, on a :
\left(a\div b\right)\times b=a
Division décimale
Effectuer une division décimale d'un nombre décimal a par un nombre entier b différent de 0, c'est chercher le quotient a\div b de a par b.
Le père de Julien vient d'effectuer le plein d'essence de sa voiture et a payé 36,75 € pour 35 L de gazole. Julien cherche à retrouver le prix d'un litre de gazole. Il doit donc effectuer la division décimale de 36,75 par 35.
On effectue cette division comme une division entre deux entiers à la différence suivante :
Au moment d'abaisser le chiffre des dixièmes, on place une virgule dans le quotient.
On poursuit ensuite la division comme d'habitude.
Le quotient est 1,05 et le reste est 0.
On a donc obtenu :
36{,}75=35\times 1{,}05+0
Soit :
36{,}75=35\times 1{,}05
Le prix d'un litre de gazole était donc de 1,05 €.
Il se peut que la division décimale ne s'arrête pas.
C'est notamment le cas lorsque le reste obtenu est non nul et se répète chiffre après chiffre.
On s'arrête alors à l'endroit demandé par l'exercice et on ne peut donner qu'une valeur approchée du résultat de la division.
La division 146{,}2\div 33 ne s'arrête pas.
À partir du chiffre des centièmes du quotient, on obtient toujours les mêmes chiffres :
3, puis 0, puis 3, puis 0, puis 3, puis 0, et ainsi de suite sans jamais obtenir un reste nul.
En abaissant le dernier chiffre (le chiffre 2), on obtient un reste égal à 10.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 1.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 10.
En abaissant un zéro supplémentaire, on obtient un reste égal à 1.
Le résultat 4,43 n'est alors qu'une valeur approchée du résultat.
On peut écrire :
146{,}2\div33\approx 4{,}43
L'ordre de grandeur d'un quotient
Ordre de grandeur d'un quotient
Un ordre grandeur d'un quotient est une valeur approchée du résultat. Il est obtenu en remplaçant chaque facteur par un nombre proche permettant un calcul mental facile du quotient. Cela permet de vérifier la cohérence d'un résultat.
Pour calculer 25{,}54\div4{,}685 on peut écrire 25\div5=5. Le résultat 5 est un ordre de grandeur du quotient.
L'ordre des opérations, les liens entre multiplication et division et le calcul instrumenté
L'ordre des opérations
Dans une suite d'opérations ne comportant pas de parenthèses, on commence par les multiplications et les divisions en les effectuant de gauche à droite si plusieurs d'entre elles se succèdent.
On passe ensuite aux additions et soustractions en les effectuant de gauche à droite si plusieurs d'entre elles se succèdent.
2\times3+4\times4-6\div2=6+16-3=19
Dans une suite d'opérations comportant des parenthèses, on commence par effectuer le calcul (ou les calculs) entre parenthèses en respectant les règles précédentes de priorité des opérations.
2\times\left(3+4\right)\times4-6\div2=2\times7\times4-6\div2=56-3=53
- Si une suite d'opérations ne comporte que des additions, on peut échanger l'ordre des termes.
- Si une suite d'opérations ne comporte que des multiplications, on peut échanger l'ordre des facteurs.
- Les deux cas précédents sont les seuls cas où l'on peut échanger des nombres dans une suite d'opérations.
- 12+5+2=2+5+12=12+2+5=19
- 2\times3\times4=4\times3\times2=4\times2\times3=24
- 2\times3+4\neq2+3\times4
Les liens entre multiplication et division
Pour diviser un nombre décimal par 10, on déplace la virgule de 1 rang vers la gauche.
Si la partie entière n'est constituée que d'un chiffre, on ajoute un 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.
On veut calculer 3{,}42 \div 100.
On doit donc déplacer la virgule d'un rang vers la gauche, mais la partie entière n'est formée que d'un seul chiffre. On ajoute donc un 0 avant le 3 et on place la virgule :
3{,}42 \div 100 = 0{,}0342
Pour diviser un nombre décimal par 100, on déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. On ajoute enfin un dernier 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.
On veut calculer 6{,}74 \div 100.
On doit donc déplacer la virgule de deux rangs vers la gauche, mais la partie entière n'est formée que d'un seul chiffre. On ajoute donc un 0 avant le 6.
On ajoute enfin un dernier 0 au début et on place la virgule :
6{,}74 \div 100 = 0{,}0674
Pour diviser un nombre décimal par 1 000, on déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche.
Si on ne peut plus déplacer la virgule, on ajoute autant de 0 que de déplacements restant à effectuer. On ajoute enfin un dernier 0 au début du nombre que l'on fait suivre de la virgule.
On veut calculer 4876{,}3 \div 1000.
On doit donc déplacer la virgule de trois rangs vers la gauche :
4876{,}3 \div 1000 = 4{,}8763
Multiplier un nombre par 0,1 revient à le diviser par 10.
437\times0{,}1=437\div10=43{,}7
Multiplier un nombre par 0,01 revient à le diviser par 100.
9\ 482\times0{,}01=9\ 482\div100=94{,}82
Multiplier un nombre par 0,001 revient à le diviser par 1 000.
7\ 658\times0{,}001=7\ 658\div1\ 000=7{,}658
Pour multiplier un nombre décimal par 5, il suffit de le multiplier par 10, puis de diviser le résultat par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
Effectuer la multiplication 72{,}4\times 5 revient à effectuer les deux calculs suivants :
On multiplie par 10 :
72{,}4\times 10=724
Puis on divise le résultat par 2 :
724\div 2=362
Ainsi 72{,}4\times 5=362.
Pour multiplier un nombre décimal par 25, il suffit de le multiplier par 100, puis de diviser le résultat par 4 (c'est-à-dire de prendre la moitié de la moitié du résultat).
Effectuer la multiplication 72{,}48\times 25 revient à effectuer les deux calculs suivants :
On multiplie par 100 :
72{,}48\times 100=7\ 248
Puis on divise le résultat par 4 :
7\ 248\div 4=1\ 812.
Ainsi 72{,}48\times 25=1\ 812.
Pour multiplier un nombre décimal par 50, il suffit de le multiplier par 100, puis de diviser le résultat par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
Effectuer la multiplication 45{,}6\times 50 revient à effectuer les deux calculs suivants :
On multiplie par 100 :
45{,}6\times 100=4\ 560
Puis on divise le résultat par 2 :
4\ 560\div 2=2\ 280
Ainsi 45{,}6\times 50=2\ 280.
Pour multiplier un nombre décimal par 0,5, il suffit de le diviser par 2 (c'est-à-dire d'en prendre la moitié).
Effectuer la multiplication 54{,}12\times 0{,}5 revient à effectuer la division 54{,}12\div 2=27{,}06.
Ainsi 54{,}12\times 0{,}5=27{,}06.
Pour multiplier un nombre décimal par 0,25, il suffit de le diviser par 4 (c'est-à-dire de prendre la moitié de la moitié du nombre).
Effectuer la multiplication 68{,}8\times 0{,}25 revient à effectuer la division 68{,}8\div 4=17{,}2.
Ainsi 68{,}8\times 0{,}25=17{,}2.
Le calcul instrumenté
Avec la calculatrice, on peut demander le quotient et le reste d'une division euclidienne :
Avec la calculatrice, on peut demander le quotient d'une division décimale :
Lorsque la division ne s'arrête pas, le quotient n'est pas un nombre décimal. Dans ce cas, on donne une valeur approchée du quotient.
Cela donne un écran de calculatrice rempli.
Lorsque l'écran de la calculatrice est rempli, il y a de fortes chances pour que la division ne s'arrête pas.
On obtient par exemple, à la calculatrice, pour la division de 36,75 par 33 :
On écrit alors, par exemple :
36{,}75 \div 33\approx 1{,}11