Les angles
Les angles interceptant un arc de cercle
Arc de cercle
Si A et B sont deux points d'un cercle, on appelle arc de cercle la portion du cercle délimitée par les points A et B. On note cet arc de cercle : \overset{\frown}{AB}.
Angle interceptant un arc de cercle
Lorsque les côtés d'un angle dont le sommet est à l'intérieur d'un cercle recoupent ce cercle, on dit qu'il intercepte un arc de cercle.
Les angles au centre
Angle au centre
Un angle au centre, dans un cercle, est un angle dont le sommet est le centre du cercle.
Angles au centre interceptant le même arc
Si deux angles au centre d'un même cercle sont égaux alors ils interceptent des arcs de même longueur.
Les angles au centre \widehat{COD} et \widehat{AOB} ont la même mesure donc les arcs \overset{\frown}{CD} et \overset{\frown}{AB} ont la même longueur.
Les angles inscrits
Angle inscrit
Un angle inscrit dans un cercle, est un angle dont le sommet est un point du cercle, et dont les côtés coupent le cercle.
Angles inscrits interceptant le même arc
Si deux angles inscrits dans un même cercle interceptent le même arc alors ils sont égaux.
Lien entre angle inscrit et angle au centre
Angle inscrit et angle au centre
Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Les angles inscrits \widehat{AMB} et \widehat{AM'B}, ainsi que l'angle au centre \widehat{AOB} interceptent le même arc de cercle \overset{\frown}{AB}. On a donc \widehat{AMB}=\widehat{AM'B}=\dfrac12\widehat{AOB}.
Les droites remarquables des triangles
Les hauteurs
Hauteurs et orthocentre
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé orthocentre du triangle.
Les médianes
Médianes et centre de gravité
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est appelé centre de gravité du triangle, et est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant des sommets respectifs.
Les médiatrices
Médiatrices et centre du cercle circonscrit
La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire au segment passant par son milieu. Les médiatrices des trois côtés d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les bissectrices
Bissectrices et centre du cercle inscrit
La bissectrice d'un angle est la demi-droite partant du sommet de l'angle qui le divise en deux angles égaux. Les bissectrices des trois angles d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Les quadrilatères particuliers
Caractérisation d'un parallélogramme
Caractérisation d'un parallélogramme
| Si un quadrilatère convexe (c'est-à-dire non croisé) a : |
ou
ou
ou
| alors ce quadrilatère est un parallélogramme. |
Caractérisation d'un losange
Caractérisation d'un losange à partir d'un quadrilatère quelconque
Si un quadrilatère a tous ses côtés de même longueur alors ce quadrilatère est un losange.
Caractérisation d'un losange à partir d'un parallélogramme
| Si un parallélogramme a : |
ou
| alors ce parallélogramme est un losange. |
Caractérisation d'un rectangle
Caractérisation d'un rectangle à partir d'un quadrilatère quelconque
Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle.
Caractérisation d'un rectangle à partir d'un parallélogramme
| Si un parallélogramme a : |
ou
| alors ce parallélogramme est un rectangle. |
Caractérisation d'un carré
Caractérisation d'un carré
Si un quadrilatère est à la fois losange et rectangle alors ce quadrilatère est un carré.
Les polygones réguliers
Les caractéristiques d'un polygone régulier
Polygone régulier
Un polygone est régulier si tous ses angles sont égaux et tous ses côtés sont de même longueur.
- Il existe un cercle circonscrit à tout polygone régulier.
- Tous les angles au centre, formés par deux côtés issus de deux sommets consécutifs, sont égaux, et mesurent chacun \dfrac{360^\circ}{n} dans le cas d'un polygone régulier à n côtés.
Le pentagone régulier a 5 côtés de même longueur et ses angles au centre mesurent tous : \dfrac{360^\circ}{5}= 72^\circ.
Exemples de polygones réguliers
Polygones réguliers usuels
Le triangle équilatéral, le carré, le pentagone régulier, l'hexagone régulier, l'octogone, etc. sont des polygones réguliers.
Aires de figures usuelles
Aire d'un triangle
L'aire d'un triangle est égale à la longueur d'une hauteur multipliée par celle du côté opposé, le tout divisé par 2 :
\mathcal{A} = \dfrac{\text{hauteur} \times \text{côté}}{2}
L'aire de ce triangle est égale à :
A=\dfrac{4 \times 6}{2} = 12 cm2
Aire d'un rectangle
L'aire d'un rectangle de longueur L et de largeur \ell est égale à :
\mathcal{A} = L \times \ell
L'aire de ce rectangle est égale à :
A=3 \times 5 = 15 cm2
Aire d'un carré
L'aire d'un carré de côté a est égale à :
\mathcal{A} = a \times a
L'aire de ce carré est égale à :
A=5 \times 5 = 25 cm2
Aire d'un disque
L'aire d'un disque de rayon r est égale à :
\mathcal{A} = \pi\times r^2
L'aire de ce disque est égale à :
A=\pi\times3^2 = 9 \pi cm2