Les prismes
Définition
Prisme
Le prisme est un solide possédant deux bases polygonales parallèles et superposables.
Le prisme droit possède de plus des arêtes latérales perpendiculaires aux bases.
Volume
Volume d'un prisme
Le volume \mathcal{V} d'un prisme de base d'aire \mathcal{B} et de hauteur h est égal à :
\mathcal{V} = h \times \mathcal{B}
Le volume de ce prisme est égal à :
V=\underbrace{\left(3 \times 4\right) \div 2}_{\text{aire du triangle rectangle}} \times 8 = 6 \times 8 = 48 cm3
Les parallélépipèdes rectangles
Le pavé
Parallélépipède rectangle
Le pavé (droit) ou parallélépipède rectangle est un prisme droit à bases rectangulaires.
Volume d'un pavé droit
\mathcal{V} = L \times l \times h
Le volume de ce parallélépipède rectangle est égal à :
V=6 \times 5 \times 3 = 90 cm3.
Le cube
Cube
Le cube est un prisme droit à bases carrées.
Volume d'un cube
\mathcal{V} = a^{3}
Le volume de ce cube est :
V=5^3=125 cm3
Le cylindre
Définition
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution est un solide formé de deux disques parallèles superposables qui sont ses bases, et d'une surface latérale correspondant à un rectangle enroulé le long des bases.
Volume
Volume d'un cylindre
Le volume \mathcal{V} d'un cylindre de base de rayon r et de hauteur h est égal à :
\mathcal{V} = h \times \pi \times r^{2}
Le volume V du cylindre ci-dessus est égal à :
V=\pi \times 3^2 \times 7 = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi cm3.
Aire latérale
Aire latérale d'un cylindre
L'aire latérale \mathcal{A} d'un cylindre de base de rayon r et de hauteur h est égale à :
\mathcal{A} = h \times 2\pi \times r
L'aire latérale du cylindre ci-dessus est égale à :
A=7\times2\pi\times 3=42\pi cm2
Section plane
Section plane d'un cylindre
La section plane d'un cylindre par un plan parallèle à ses bases est un cercle de même rayon que les bases du cylindre.
Dans toute section plane de cylindre, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).
Le cône de révolution
Volume
Volume d'un cône
\mathcal{V} =\dfrac{1}{3}\times h \times \pi \times r^{2}
Le volume du cône ci-dessus est :
V=\dfrac13\times10\times\pi\times6^2=120\pi cm3
Soit :
V\approx377 cm3
Aire latérale
Aire latérale d'un cône
L'aire latérale \mathcal{A} d'un cône de révolution de base de rayon r et de génératrice g est égale à :
\mathcal{A} = g \times \pi \times r
L'aire latérale du cône ci-dessus est :
A=11\times\pi\times3=33\pi cm2
Soit :
A\approx104 cm2
Section plane
Section plane d'un cône
La section plane d'un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
Le nouveau cône ainsi créé est une réduction du cône initial.
Dans toute section plane de cône, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).
Les pyramides
Volume
Volume d'une pyramide
Le volume \mathcal{V} d'une pyramide de base d'aire \mathcal{B} et de hauteur h est égal à :
\mathcal{V} =\dfrac{1}{3}\times h \times \mathcal{B}
La pyramide à base carrée ci-dessus a pour volume :
V=\dfrac13\times7\times\left(6\times6\right)=84 cm3
Section plane
Section plane d'une pyramide
La section plane d'une pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base.
La nouvelle pyramide ainsi créée est une réduction de la pyramide initiale.
Dans toute section plane de pyramide, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan (par exemple les théorèmes de Pythagore ou Thalès).
Boule et sphère
Volume d'une boule
Volume d'une boule
Le volume \mathcal{V} d'une boule de rayon r est égal à :
\mathcal{V} =\dfrac{4}{3}\times \pi \times r^{3}
Le volume de la boule ci-dessus est :
V=\dfrac43\times\pi\times6^3=\dfrac{864}{3}\pi=288\pi cm3
On parle en général de sphère pour désigner le solide vide, et de boule pour désigner le volume plein.
Aire d'une sphère
Aire d'une sphère
\mathcal{A} = 4 \times \pi \times r^{2}
L'aire de la sphère ci-dessus est :
A=4\times\pi\times6^2=144\pi cm2
Section plane
Section plane d'une sphère
La section plane d'une sphère de rayon r par un plan est un cercle de rayon compris entre 0 et r.
Dans toute section plane de sphère, on peut appliquer les propriétés vues dans le plan.
Réduction et agrandissement
Les coefficients de réduction et d'agrandissement
Lors d'un agrandissement ou d'une réduction, le solide est transformé en un solide de même nature.
Rapport de réduction
Le rapport de réduction d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure réduite par la longueur correspondante de la figure initiale.
Le cube 2 est une réduction du cube 1. Le rapport de réduction est \dfrac38.
Rapport d'agrandissement
Le rapport d'agrandissement d'une configuration est égal au rapport d'une longueur de la figure agrandie par la longueur correspondante de la figure initiale.
Le cube 1 est un agrandissement du cube 2. Le rapport d'agrandissement est \dfrac83.
Le volume d'une réduction ou d'un agrandissement
Dans une réduction ou un agrandissement de coefficient k ( k non nul), les volumes sont multipliés par k^{3}.
Le cube 2, est une réduction de rapport k=\dfrac38, du cube 1, de volume V_1=8^3=512 cm3.
Le cube 2 a donc pour volume :
V_2=k^3\times V_1=\left( \dfrac38 \right)^3\times512= \dfrac{27\times512}{512}=27 cm3
Soit :
V_2=27 cm3